Exercices « De-ci de-là »

 

 

  • Exercices de-ci de-là du BV 488

    Exercices
    Exercice 488-1 : Bruno Alaplantive – Calgary L’association maintient le cap : Pour les maths !
    $CAP \over PLM=.APMEP\ APMEP \ APMEP ...$
    Dans cette fraction et sa notation décimale, de période de longueur 5, chaque lettre représente un chiffre différent. La notation est à l’anglo-saxonne avec un point à la place de la virgule et le zéro n’est pas écrit. À l’instar de notre chère centenaire, la fraction est naturellement irréductible ! Déterminer la solution et son unicité.
    voir (...)

  • Exercices de-ci de-là du BV 486

    Nouveaux exercices
    Exercice 486-1 : un classique sous contrainte Construire le point M de (d) qui minimise MA+MB sans sortir du cadre.
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 486-2 : B. Lefebvre - Namur
    Démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant. Le reste de la division d’un nombre entier par 7 s’obtient par cette méthode peu connue : on multiplie le premier chiffre de gauche par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; on multiplie le résultat par 3, puis on ajoute le (...)

  • Exercices de-ci de-là du BV 480

    Ces exercices ont été publiés dans le BV 481 sous le nom d’exercices 480-xx.
    EXERCICES
    Exercice 480-1 (Daniel Reisz – Auxerre)
    Que peut-on dire de la suite de réels $(u_n)$ vérifiant $u_1 = 1$ et, pour tout m et n,
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 480-2 (Daniel Reisz – Auxerre)
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre)
    Quel élève n’a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d’écrire (f g)’ = f ’g’ ?
    Y a-t-il des (...)

  • Exercices de-ci de-là du BV 492

    Exercices
    Exercice 492-1 Guerre froide (d’après les olympiades mathématiques de l’Union Soviétique 1965)
    Un avion espion vole à la vitesse de 1000 km/h en décrivant un cercle de centre O et de rayon 10 km. On tire un missile depuis O. Il va à la même vitesse que l’avion et sa trajectoire est telle qu’il reste toujours aligné entre O et l’avion. Au bout de combien de temps atteint-il l’avion ?
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 492-2 Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé (issu du cours de (...)

  • Compléments aux solutions des exercices du n° 485

    1- Compléments aux solutions de l’exercice 485-2 : un florilège !
    Une autre démonstration disponible sur
    le site cut-the-knot
    et une animation cabri qui en est issue :
    <cabri11027|autocontrol=true>
    2-Complément aux solutions de l’exercice 485-4 proposé par Michel Sarrouy

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 470

    Serge PARPAY
    Exercices
    Exercice 470-1 (Corol’aire no 41)
    Démontrer que, pour tout ensemble x, y, z de trois nombres réels quelconques, on a : $|x + y| + |y + z| + |z + x| \leq |x| + |y| + |z| + |x + y + z|$.
    À quel moment a-t-on l’égalité ?
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 470-2 (Raymond Raynaud-Digne)
    Étant donné un carré ABCD, quel est le lieu L du point M de son plan tel que les deux cercles ABM et CDM aient le même rayon ?
    voir l’article où est publiée la solution (...)

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 472

    Exercices
    Exercice 472-1. Olympiades suédoises (Supplément au Corol’aire n°18)
    Quelle est la circonférence du plus grand cercle que l’on peut tracer dans les carrés noirs d’un échiquier dont les carrés ont 4 cm de côté ?
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 472-2 Petits exercices pour amateurs (Supplément au Corol’aire n° 23)
    a) Soient quatre points alignés A, B, A’, B’, avec AB < A’B’. Construire le centre d’homothétie transformant [AB] en [A’B’]. b) Sur une droite, trois points A, B et (...)

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 473

    Exercices Exercice 473-1 (Michel-Hébraud - Toulouse)
    Au sujet de l’exercice 469-2 (Bulletin n° 472, page 776), Michel Hébraud propose : « Pour aiguiser la curiosité, compléter la figure en définissant l’intersection des droites (DE) et (BC) en V. Le quadrangle ainsi défini a des propriétés intéressantes. Mais il y a bien d’autres pistes… ».
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 473-2 (Denis Page - Bourg-en Bresse)
    Déterminer les extremums de cos a + cos b + cos c, sin a + sin b + sin c et (...)

  • Exercices « de-ci, de-là » du BV 474

    Exercices Exercice 474-1 (Raymond Raynaud - Digne)
    Étant donné un triangle équilatéral ABC de hauteur h, on désigne par f(M) la somme des distances d’un point M du plan aux droites (AB), (BC) et (CA).
    Quel est le lieu des points M tels que f(M) soit égale à une longueur donnée l ?
    voir l’article où est publiée la solution
    Exercice 474-2 (Georges Lion - Wallis)
    Dans son intéressant article (Bulletin Vert n° 470), Éric Barbazo cite l’étude de la fonction $(x+\frac1x)\sqrt\frac1x$ proposée en première (...)

  • Complément à : Exercices de-ci, de là

    Bulletin Vert 484, septembre-octobre 2009
    page 694 Exercice 484-3
    C’est pas dans la poche…
    À l’exercice de-ci, de-là 484-3 du n° 484 du BV,
    il faut lire \(3x^2 - 8y^2 + 3x^2y^2 = 2008\)
    et non pas \(3x^2 + 8y^2+ 3x^2y^2 = 2008\)
    qui, elle, n’a pas de solution entière, foi d’australien.
    Qui peut le moins ne peut pas forcément le plus.
    Le coupable est condamné à 2008 sauts de kangourou !
    page 695 à 698 : Solutions de l’exercice 480-2
    Animations GeoGebra citées page 698
    Première animation (...)

  • exercices de-ci de-là du BV 478

    Serge Parpay
    EXERCICES
    Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)
    Soit $(\Delta)$ une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre indéterminé de points $A_i$ de $(\Delta)$ tels que les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_i+1$ aient tous même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans les triangles $OA_iA_i+k$ ont tous même rayon $r_k$.
    Michel Hébraud (Toulouse) nous avait signalé cet exercice, donné dans la rubrique (...)

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 469

    Enoncés
    Exercice 469-1 (Louis Rivoallan (La Rochelle) – Corol’aire n° 59
    On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n-1) zéros avec la convention précédente. Montrer, que pour tout n, il y a exactement 2 autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette (...)

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 467

    Exercices Exercice 467-1 (Michel Lafond - Dijon)
    Se référant à l’exercice 461-1 de Georges Lion et Maurice Starck, Michel Lafond nous propose le théorème du sphinx (figure ci-dessous) :
    Si dans un cercle, AB est une corde de milieu I, et si CD et EF sont deux autres cordes coupant AB respectivement en K et L avec I milieu de KL, alors :
    Aile 1 : Si FC et DE coupent AB respectivement en M et N alors I est milieu de MN.
    Aile 2 : Si FD et EC coupent AB respectivement en P et Q alors I est milieu (...)

  • Exercices « De-ci, de-là » du BV 466

    Exercices :
    Exercice 466-1 (Christian Planchon – Marvejols)
    L’ivrogne
    Pour rentrer chez lui, Don Garcia doit traverser un pont sans balustrade, constitué de trois rangées de trois dalles ; ses amis l’ont laissé sur la dalle centrale de la première rangée. Saoul comme il est, s’il tombe à l’eau, c’est la noyade assurée. Les yeux rivés sur l’autre berge, il s’élance. Titubant, il a autant de chance de faire un écart à gauche qu’un écart à droite ou qu’un pas en avant. L’amplitude de ses écarts et de ses (...)

 

 

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