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  APMEP   256-257. Sur quelques points de terminologie.

Article du bulletin 256-257

- 1er février 2013 -

J. DAUTREVAUX, C.S. U. Mulhouse.

Dans cette courte note, je voudrais attirer l’attention sur deux questions relatives à la terminologie à utiliser en Algèbre, car ceci ne semble actuellement pas très net ni parfaitement clair, car il arrive de rencontrer cette terminologie imprécise dans des ouvrages fort sérieux ou dans des comptes rendus polycopiés de Faculté.

1° Anneaux, corps.

Dans bien des cas, on rencontre une distinction artificielle entre ANNEAUX et CORPS : cette distinction n’a pas à être faite au niveau élémentaire, car un corps n’est en somme qu’un anneau particulier (d’ailleurs l’étude des sous-structures le prouve), dont l’étude n’est a priori pas plus privilégiée que, par exemple, celle des anneaux principaux ou celle des anneaux noethériens. On sait d’ailleurs qu’au niveau élémentaire, à part les propriétés de définition c’est-à-dire l’intégrité et l’existence d’un inverse pour chaque élément non nul, un corps n’a que fort peu de propriétés simples en plus des propriétés générales des anneaux, tout au plus puis-je citer le fait qu’un corps n’a pas d’autres idéaux que les idéaux triviaux.

Par conséquent, de grâce ! ne séparons plus, au stade élémentaire, les corps (qui sont des anneaux particuliers) des anneaux en général.

2° Les Sous-structures.

Ici, les incohérences rencontrées sont plus graves, car la terminologie utilisée peut impliquer des conséquences fausses.

La littérature mathématique semble d’ailleurs assez hésitante sur ces questions de terminologie ; je n’ai trouvé nulle part de définition générale des sous-structures, Bourbaki parle seulement, sans préciser de dénominations, des structures algébriques induites. Les auteurs consultés (Dubreil, Godement. Bourbaki) posent d’abord un groupe G, puis définissent les sous-groupes de G, un anneau A, puis définissent les sous-anneaux deA etc., définitions parfaitement correctes du moment que les prémices ont été bien précisées, mais à mon avis incomplètes, ce qui ne va pas sans embarrasser quelque peu les auteurs lorsqu’il s’agit de donner la définition précise d’un sous-corps d’un corps K : Godement n’hésite pas à écrire, ce qui va bien dans le sens de cet article, qu’une partie A d’un corps K est un sous-corps si, premièrement A est un sous-anneau de K, ... etc. Il est vrai que la seule structure importante est celle d’ANNEAU, la structure de CORPS étant pour ainsi dire un accident pouvant survenir à un anneau, et par conséquent à n’importe quel sous-anneau.

Une erreur couramment répandue - et elle est encore entretenue par la lecture de certaines publications - consiste à croire un peu rapidement qu’un Groupe ne saurait avoir d’autre sous-structure qu’un SOUS-GROUPE, qu’un anneau ne peut avoir d’autre sous-structure que des sous-anneaux et qu’un CORPS des SOUS-CORPS ; on va voir qu’il n’en est rien, et c’est pourquoi le proposerais que la dénomination des sous-structures soit comprise dans le sens suivant :

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