par Hervé Lehning

Belin — Pour la Science, juillet 2009
128 p. en 15 × 21,5, 18 €

Cet ouvrage, petit dans sa forme mais vaste par toutes les questions qu’il aborde rassemble un grand nombre d’exemples tirés pour l’essentiel de récréations mathématiques et utilisant des connaissances enseignées au collège. Son objectif est de dégager et classer les principales techniques de preuve et de donner les outils nécessaires aussi bien aux amateurs curieux qu’aux lycéens pour achever les preuves de leurs assertions. alors que peu de livres traitent ce sujet dans notre pays.

Il comporte treize chapitres encadrés par une préface et une postface :

• 1) Déduction et logique mathématique
  Assertion et combinaison d’assertions, Réciproque et contraposée, Syllogisme, Méthode axiomatique.
• 2) Exhaustion des cas
  Souci d’élégance, Tableaux pour gérer des données complexes, Utilisation d’un ordinateur.
• 3) Analyse et synthèse
  Méthode algébrique, Importance de la réciproque, Maths et magie, recours à l’absurde, Effet GIGO.
• 4) Méthode de Descartes
  Carrés magiques, Scinder les difficultés, Cryptarithmes.
• 5) Découpages et coloriages Preuves sans paroles, Ennui mais nécessité des réciproques, Généralisation de Pythagore, Une méthode générale de découpage, Paradoxe de Lewis Carroll, Découpage en algèbre.
• 6) Invariants
  Quoi de neuf, Algorithme d’Euclide, Descente infinie.
• 7) Principe de l’extremum
  Problème de Sylvester, jeu de Nim, Algorithmes gloutons.
• 8) Induction et récurrence
  Lapins de Fibonacci, Algorithmes itératifs, Preuve d’un algorithme, Dénombrements, Invention d’un théorème, Surprenante efficacité des mathématiques.
• 9) Principe des tiroirs
  Trouver les tiroirs, Mettre les restes en boîtes, Tiroirs en géométrie, Nombres de Ramsey.
• 10) Transport de propriétés
  Zéros des polynômes.
• 11) Usage de l’infini
  Développement décimal illimité, Suite de Fibonacci, Approximations successives de \( \sqrt{2}\) , Comptage des blancs dans une phrase.

Le texte est d’une grande limpidité, les figures sont nombreuses et très claires La très grande culture mathématique de l’auteur l’a dispensé de donner une courte bibliographie et un index qui auraient facilité la recherche d’un thème ou de développements complémentaires.

Ce livre attachant rendra de grands services non seulement aux lycéens ou aux amateurs mais aussi à tous les étudiants de licence ou de classes préparatoires pour raisonner logiquement et trouver des démonstrations belles et complètes et aux candidats au CAPES pour enrichir leurs exposés d’exemples féconds.