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  APMEP   À partir d’une question d’élève

Article du bulletin 453

Adhérer ou faire un don

– et des R et r d’un triangle quelconque –

Henri Bareil

Résumé

Un des élèves de l’enseignant Hugo Perez-Bercoff lui a demandé s’il existe des relations entre les rayons r et R des cercles inscrit et circonscrit à un triangle. L’article donne 3 réponses suivant le niveau des élèves.
Un premier énoncé s’adresse aux élèves de 3ème et conduit à la relation $ r= 4R sin \dfrac{\widehat{A}}{2} sin\dfrac{\widehat{B}}{2} sin\dfrac{\widehat{C}}{2}$.
La recherche de la $2^{ème}$ relation peut-être proposée en Seconde $Rr=\dfrac{abc}{2(a+b+c)}$.
La 3ème relation concerne la relation d’Euler ($d^2=R^2-2Rr$), sa généralisation aux coniques et sa réciproque.
L’article expose les solutions concernant chaque niveau.

Plan de l’article

  • I
  • II. COMMENTAIRES
  • III. COMPLÉMENTS
    • 1. AUTRE RELATION ENTRE R et r (plutôt niveau Seconde)
    • 2. RELATION D’EULER et généralisation aux coniques
    • 3. RÉCIPROQUE DE LA RELATION D’EULER
  • IV. EN CONCLUSION DE L’ARTICLE

- Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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