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  APMEP   Al-Khwârizmî – L’algèbre et le calcul indien

Article du bulletin 507

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Marc Roux

- 29 janvier 2014 -

par Ahmed Djebbar.

ACL – Éditions du Kangourou, 2013.

56 pages en 13,5 x 20.

ISBN : 978-2-87694-204-2.

Dans sa Préface, Ahmed Djebbar précise le but de ce petit opuscule : mettre à la disposition des enseignants et des élèves les résultats de recherches sur l’histoire du calcul indien et de l’algèbre arabe.

La vie et l’œuvre scientifique d’Al- Khwârizmî résume le peu que l’on connait de ce personnage : il vécut de 780 à 850 ; lieu de naissance, formation inconnus ; il fréquente la Maison de la Sagesse à Bagdad, côtoie les califes al-Ma’mûn et al-Wâtiq, est célèbre de son vivant.

Al-Khwârizmî astronome et géographe conjugue les apports indiens, persans et grecs ; il réalise des tables astronomiques, une Carte du Monde (reproduite dans ce livre) plus précise que celles qui l’ont précédée. Il publie des livres sur l’astrolabe et le cadran solaire, sur le calendrier juif, sur la configuration de la Terre.

Al-Khwârizmî mathématicien a écrit trois ouvrages, et non deux comme on le croyait naguère : le Livre de la réunion et de la séparation expose des procédures de calcul digital et mental en vigueur à son époque ; il contient des identités remarquables et la règle des signes.
Le Livre sur le calcul indien explique la numération de position utilisant neuf chiffres et un signe qui deviendra notre zéro ; ainsi que la pratique des opérations, y compris l’extraction de racine carrée et la preuve par 9, sur les entiers et les rationnels positifs. Ce livre circulera en Europe dès le Xème siècle, mais ne sera traduit en latin qu’au XIIème.
Six pages de traduction en sont données.

Enfin, le plus célèbre, le Livre abrégé sur le calcul par la restauration et la comparaison est l’acte officiel de la naissance d’une nouvelle discipline : l’Algèbre. Al-Khwârizmî étudie six types d’équations, du premier ou deuxième degré ; pour chacune il fournit un procédé de résolution, une justification géométrique de l’existence d’une solution, un exemple de résolution de problème.
Les extraits traduits sont accompagnés d’une interprétation en notation moderne. En outre notre savant explique comment mathématiser un problème en le ramenant à l’une des six équations, il étend les opérations à certains monômes, et il précise les domaines d’application : héritages, partages, commerce, arpentage, géométrie…

Ahmed Djebbar ne se contente pas de traduire et expliquer Al-Khwârizmî ; il recherche aussi ses sources, montrant un parallèle saisissant entre un problème résolu au Xème siècle et une tablette babylonienne datant de 1750 av. J.C. Et il étudie sa diffusion et ses prolongements, d’abord dans le monde arabe des Xème et XIème siècles, puis en Europe jusqu’au Liber Abaci de Fibonacci (1202 puis 1228), et au-delà.

La dernière partie du livre reproduit plusieurs Procédures et problèmes extraits du livre d’algèbre (énoncés et résolutions), avec pour l’un, des commentaire détaillés, et pour tous, la traduction en notations modernes.

Réunir en si peu de pages (richement illustrées en noir et blanc) une telle somme de connaissances historiques, la mettre à la portée de quiconque, rendre ainsi vivantes les façons de calculer et d’écrire les mathématiques à une époque aussi lointaine, est un exploit que peu de gens auraient pu accomplir  ; Ahmed Djebbar l’a fait, pour notre plus grand plaisir.

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