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  APMEP   Atelier scientifique au collège : mathématiques et modélisation en 3D

Article du bulletin 485

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- 21 décembre 2015 -

Francis Loret

En France, comme dans de nombreux pays développés, les effectifs des filières scientifiques sont, depuis plusieurs années, en régression. Les enquêtes récentes [1] qui étudient les facteurs de cette désaffection s’accordent sur plusieurs points : les jeunes pensent que la science est nécessaire. Pourtant, ils la considèrent comme une activité solitaire, « froide » et à faible potentiel humain [2].

C’est sur la base de ces constats qu’est né l’Atelier Scientifique Euclide du collège Albert Camus de Miramas : comment, dès le collège, mettre en place des actions qui permettent aux élèves de percevoir les dimensions méconnues par eux de l’humaine science ? Comment leur montrer que la démarche des grands découvreurs est profondément humaine et vivante ? Voilà la difficile mission qui est la nôtre. Pourtant, un certain nombre de grandes questions abordées dans le supérieur, parmi celles qui présentent un intérêt immédiat pour des adolescents, peuvent être rendues accessibles sous forme d’initiation à des collégiens de tout niveau, du moment qu’ils relèvent le défi de la curiosité. Les trous noirs, la structure de l’univers revisitée par les géométries non euclidiennes, l’approche d’une notion aussi fascinante que l’infini, la naissance d’une intelligence artificielle grâce aux développements de la logique formelle, etc., ne sont-ils pas des thèmes en mesure de susciter une fascination au moins aussi importante que cette génération veut bien vouer à des films comme Matrix, ou des jeux vidéos comme Final fantaisy ? En quoi ces questions sont-elles susceptibles d’ouvrir des portes sur des univers fascinants, où la réalité scientifique dépasse le plus souvent les fictions les plus extravagantes ?

Il s’agit donc de familiariser les élèves avec les grandes questions de la recherche scientifique de manière à susciter des vocations à un âge où la rencontre avec un chercheur ou toute simplement l’implication dans un sujet porteur de sens peuvent jouer de manière déterminante sur l’orientation à venir. Toute cette réflexion est à l’origine du projet « atelier Euclide » , dont les activités proposent à des élèves volontaires de quatrième et de troisième d’aller à la découverte de certaines des grandes thématiques de l’histoire des sciences, mais aussi de la science vivante et contemporaine. Afin de donner corps aux contenus étudiés, nous avons plusieurs fois fait appel ces dernières années à des personnes extérieures à l’établissement susceptibles de rajouter de la vie à une discipline aux mécanismes pour le moins abstraits : rencontre avec des chercheurs, des ingénieurs et déplacement sur des sites.

Parmi les thèmes abordés ces dernières années, on peut citer :

  • L’étrange rapport entre la mathématique et le réel, avec étude d’extraits de films comme Matrix et Matrix Reloaded, le travail sur le mythe de la Caverne de Platon, sur Descartes et Galilée et une ouverture sur des modèles et théories scientifiques modernes ; à cette occasion, les élèves ont travaillé avec un artiste graphiste sur la réalisation d’un film d’animation illustrant le texte de Platon. Rencontre avec un mathématicien poursuivant des travaux sur l’optimisation des protocoles de chimiothérapie, problématique hélas très réelle.
  • Une initiation aux fondements de la logique, dont l’introduction s’appuyait sur les paradoxes et dilemmes empruntés au film singulier de Spielberg Minority Report. Les Sophistes. Aristote et la logique : initiation à la théorie des propositions et des syllogismes. Initiation à la logique moderne : tables de vérité, calcul des propositions. Logique et paradoxes : les approches de Hilbert, Russel et Gödel. Rencontre avec un ingénieur spécialiste en logique et robotique.
  • Les mathématiques peuvent-elles permettre de comprendre l’infini ? Qu’est-ce que compter ? Notion de bijection. Puissance du dénombrable et puissance du continu. Les problèmes de l’hôtel Hilbert. La suite $ \aleph_0$, $\aleph_1$ , … et le théorème de Gödel.
  • À la recherche de l’infiniment petit et l’infiniment grand en physique. Initiation à la physique des particules. Visite du Centre de Physique des Particules de Marseille et rencontre avec un chercheur. Initiation à la cosmologie. Voyage à l’observatoire Saint-Michel.
  • Mathématiques et modélisation informatique en 3D sur le logiciel Blender [3] . Modéliser, texturer, animer un objet : quels outils mathématiques ? Initiation au calcul matriciel, au codage binaire du mode RVB, interpolation linéaire, calcul vectoriel, calcul barycentrique, courbes de Bézier. Réalisation par les élèves de films d’images de synthèse : voyage dans le système solaire, visite virtuelle d’une villa de Pompéi suite à la participation d’une partie des élèves à un voyage en Italie, … Rencontre avec un ingénieur spécialiste du logiciel Blender.
  • L’histoire extraordinaire du Dernier Théorème de Fermat. Position historique du problème. Quelques points clés de la démonstration d’Andrew Wiles. Équations diophantiennes. Courbes elliptiques et « mathématiques de l’horloge ». Initiation aux différentes formes de raisonnement utilisés en arithmétique : le raisonnement par l’absurde, la descente infinie, la contraposée, le raisonnement par récurrence. Les enjeux de l’arithmétique de haut niveau.
  • Du Vendée-Globe aux trous noirs : d’étranges géométries [4]. Participation des élèves au Vendée-Globe virtuel. Choix de la route en fonction des prévisions météos. Initiation aux grands principes de la météorologie.
    Optimisation du rapport cap/vitesse et notion de polaire d’un bateau, rôle de la trigonométrie. Initiation à la géométrie sphérique (somme des angles d’un triangle, orthodromie, loxodromie, …). Initiation à d’autres types de géométries non euclidiennes, notamment aux géométries comprenant des singularités. Notion de courbure positive, négative. Géométrie d’un trou noir.
    Rencontre avec un météorologue, mise en contact avec un skipper professionnel, sortie en mer pour une initiation à la voile. Immersion dans un centre de recherche en mathématiques sur le campus de Luminy à Marseille, au sein du laboratoire PYTHEAS, où les élèves ont travaillé pendant trois jours sous la direction de chercheurs. Thème : géométrie euclidienne et géométries non euclidiennes.

Ces thématiques peuvent être, a priori, jugées peu abordables pour des collégiens.
Elles le deviennent pourtant grâce à un travail de simplification en amont, pour ne garder que l’indispensable et l’accessible. Après tout, si l’on considère une matrice comme un simple tableau de nombres, tout élève de quatrième qui manipule correctement les opérations sur les nombres relatifs est capable rapidement d’en faire le produit ou la somme. Si l’on compare la bijection à l’art d’apparier un danseur et une danseuse dans une soirée pour ne créer que des couples stricts, le concept présente moins de difficultés. Si l’on travaille avec des équations diophantiennes bien choisies, on contourne les difficultés majeures liées au cadre général de ces équations, tout en sensibilisant les élèves à ce type de problème. Par ailleurs, aucune obligation de résultat n’est demandée aux élèves. Chacun doit s’investir à la hauteur de ses envies, à la hauteur de ses moyens. En parallèle de la trame principale de travail, des activités pour aller plus loin sont proposées pour satisfaire les plus gourmands. Dans les débuts, en 2002, l’effectif comptait surtout des têtes de classe mais aussi des curieux/dilettantes. Le défi a été d’élargir le public. En 2005, sur un effectif d’une quarantaine d’élèves, répartis en deux groupes, on comptait un tiers d’élèves considérés comme des élèves en difficulté. L’inscription de nombreux élèves jugés en difficulté ces dernières années à l’atelier a clairement été le témoignage d’un besoin : celui d’affirmer qu’eux aussi, même s’ils ne se destinent pas a priori à un long parcours d’étudiant, revendiquent l’accès à des questionnements supérieurs. Pas de démagogie : les élèves qui ont les meilleurs résultats en classe restent dans la majeure partie des situations ceux qui ont l’idée. Toutefois, dans certaines situations, des élèves considérés habituellement en échec se sont trouvés faire jeu égal avec les meilleurs car le matériel de départ, nouveau pour tout le monde, leur permettait de partir sur les mêmes bases. Trouver une bijection entre l’ensemble des entiers naturels et l’ensemble des nombres relatifs n’est pas nécessairement plus facile parce que l’on a de bons résultats dans un cadre traditionnel.

Comment motiver sur le long terme des élèves nombreux et divers pour des thèmes d’apparence aride ? Il faut d’abord que l’enseignant, par sa présence, instaure un climat de prise de distance, le plus proche possible du serio ludere cher aux humanistes de la Renaissance, savant dosage entre la convivialité du jeu et le sérieux du contenu.

Il s’agit finalement de raccorder des univers aujourd’hui trop souvent disjoints.
Cet étonnement, cette soif de vérité qui a guidé au jour le jour les Platon, Descartes, Fermat, Hilbert, … seraient-ils le fait de quelques vieux génies, membres d’une humanité révolue ? Ou bien pourrions-nous parier sur le caractère vivant et universel des découvertes réalisées par ces grands hommes, dont on peut faire le vœu qu’il est susceptible d’éveiller la même fascination pour qui se donne la peine de s’y intéresser ?

La démarche consisterait alors à (r)éveiller chez les élèves le goût de la recherche du vrai qui seule peut justifier de la nécessité de savoir lire, écrire, compter, mesurer, comprendre.

Télécharger l’annexe 1 : Mathématiques et modélisation en 3D : le contenu de l’atelier
Télécharger l’annexe 2 Mathématiques et modélisation 3D sur Blender Collège Albert Camus de Miramas

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Europe needs more scientists, rapport du High Level Group (HLG) on Human Resources for Science and Technology in Europe.

[2] Pourquoi les filles sont l’avenir des sciences, par Florence Robine, Inspectrice générale de l’Éducation Nationale

[3] En annexe 1, le contenu plus détaillé de l’atelier. Le travail issu de cet atelier a été récompensé par la médaille d’or « Grand Prix du CNRS 2008 » au concours national Faites de la Science 2008 ; il est présenté en annexe 2.

[4] Ce travail a reçu en 2009 la médaille d’or « Grand Prix CEA » à la finale nationale de ce même concours.


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