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  APMEP   Au fil d’un problème…

Article du bulletin 460

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Henri Bareil

- 23 février 2016 -

Naguère, quand les bateliers descendaient le Rhône, ils disaient avoir « l’Empire » à leur gauche, le « Royaume » à leur droite [1]. Et nous, qu’avons-nous d’un côté et de l’autre d’une ligne ? [2]

Résumé de l’article

Problème de départ : 3 points non alignés étant donnés, où doivent se trouver les points M tels que les orthocentres des triangles MAB, MBC et MCA soient strictement intérieurs à son triangle ?
En s’occupant d’abord d’une condition, puis de deux, ... l’auteur a été conduit à des aperçus très divers, certains exploitables dès la 6ème, d’autres en lycée, selon le niveau de rigueur exigé et les conditions de recherche. Les études géométriques correspondantes sont détaillées, sans s’interdire de faire appel à des logiciels de géométrie. Le problème initial induit d’autres problèmes qui se développent indépendamment de lui dans de riches annexes (2, 3 et 5) qui, avec l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, fait intervenir des conchoïdes, et une cardioïde plus précisément étudiée. Pour terminer, l’annexe 4 donne deux nouvelles solutions pour un problème classique surgi de l’annexe 3 concernant le triangle isocèle, inscrit dans un cercle, d’aire maximale.

Plan de l’article

  • 1. Introduction
  • 2. Pour un triangle
  • 3. Pour deux triangles
  • 4. Cas de trois triangles
  • 5. Conclusion … provisoire
  • Annexes

L’annexe 1 accentue la réflexion sur des régionnements du plan.

Les annexe 2, annexe 3 et annexe 5, mises en orbite par la recherche sur le problème initial, se développent indépendamment de lui. On peut, bien sûr, les y transférer mais alors il faut considérer que nous ne pouvons le faire que pour « le point variable étudié se déplace sur … » et il y aurait lieu de compléter par une étude réciproque tenant compte des conditions du problème initial.

L’annexe 4 donne de nouvelles solutions pour un problème classique surgi à nouveau, ici, lors de l’Annexe 3.

Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] Cf. « Le poème du Rhône », de Frédéric Mistral.

[2] Il était classique, au Collège, de se poser la question pour la médiatrice de deux points, la bissectrice d’un angle, …


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