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  APMEP   Autour des nombres pythagoriciens

Article du bulletin 460

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- 4 avril 2016 -

Richard Choulet [1]

Résumé

Suite à un exercice d’arithmétique trouvé dans un livre de Seconde (utilisant essentiellement la décomposition en facteurs premiers et la réduction de quotients au même dénominateur), l’auteur se pose la question :

Comment est bâti un tel énoncé, comment en concevoir d’autres du même genre, et comment construire, sur la base découverte, un énoncé d’arithmétique de Terminale ?

Après résolution des exercices à l’aide de triplets Pythagoriciens et une généralisation à l’aide d’équations diophantiennes, il propose des pistes pour en rester à des "calculs numériques qui s’arrangent" en faisant intervenir les exposants 2, puis 3 puis 4, puis même l’exposant 1, utilisant l’écriture d’un nombre rationnel compris entre 0 et 1 avec une somme de fractions unitaires (de numérateur 1).

Plan de l’article

  • 1. J’ai trouvé dans un livre de Seconde l’exercice qui suit ··· Retrouvez le nombre manquant dans $ \frac{1}{\cdots^{2}} = \frac{1} {15^{2}} + \frac{1}{20^{2}}$ et $ \frac{1}{10^{3}}= \frac{1}{12^{3}} + \frac{1}{15^{3}} + \frac{1}{\cdots ^{3}}.$
  • 2. Proposition de devoir à la maison en Terminale S inspiré par cet énoncé de Seconde.
  • 3. Quels prolongements peut-on espérer ?

Remarque : Voici pour terminer une sommaire bibliographie avec quelques adresses :
– Mahdi Abdeljaouad : Introduction à l’Arithmétique, Centre de Publication Universitaire de Tunis (2002). En vente à l’APMEP.
– Richard Guy : Unsolved Problems in Number Theory (1974).
– Mathieu Savin : Arithmétique, Brochure 129 de l’APMEP (2000).
– http://mathworld.wolfram.com
– http://www.ics.uci.edu/ eppstein/numth/egypt/kterm-minden.html
– http://www.math.fau.edu/Richman/cub... _– http://www.seanet.com/ ksbrown/
– http://www.york.cuny.edu/ malk/tidbits/tidbit-fractions.html

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] Lycée Augustin Fresnel CAEN. Courriel : richardchoulet@wanadoo.fr


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