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BESANCON - Exercice n° 1

Jean Barbier

Thème : ARITHMETIQUE

Série concernée : S

Enoncé
Promenade parmi les nombres
On part du nombre 5 et on s’autorise à utiliser deux opérateurs :

  • L’opérateur (M) « multiplier par 2 » : n\mapsto  2 \times n
  • L’opérateur (R) « retrancher 3 » : n \mapsto n-3.
Un entier naturel N est dit admissible s’il est possible, en partant de 5 et en n’utilisant que les deux opérateurs ci-dessus, de parvenir en un certain nombre d’étapes au nombre N. Par exemple 25 est admissible par le chemin à cinq étapes :

5 \stackrel{M}{\longrightarrow} 10 \stackrel{R}{\longrightarrow}7 \stackrel{M}{\longrightarrow}
14 \stackrel{M}{\longrightarrow} 28 \stackrel{R}{\longrightarrow}25

On considérera par convention que 5 est admissible (chemin avec 0 étape)
  1. Quels sont les entiers naturels admissibles en au plus 3 étapes ?
  2. Montrer que 11, 13, 16 et 19 sont aussi admissibles.
  3. Certains entiers naturels sont non admissibles : lesquels ? Justifier.
  4. Montrer que 2 009 est admissible en présentant une méthode permettant de trouver le chemin menant de 5 à 2 009 (une telle méthode est aussi appelée algorithme).
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