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  APMEP   Benoît Mandelbrot, père de la géométrie fractale.

Article du bulletin 508

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N° spécial de la Gazette des mathématiciens (n° 136, avril 2013)

Marc Roux

- 31 mars 2014 -

sous la direction de Stéphane Jaffart et Stéphane Seuret.

SMF.

192 pages en 17,5 x 24.

ISBN : 978-2-85629-360-7.

Cet ouvrage, illustré en noir et en couleurs, après un Avant-propos qui comporte des repères biographiques, rassemble 14 textes de longueurs très inégales (d’une à cinquante- quatre pages). À l’exception du dernier, qui est de la plume de Benoît Mandelbrot lui-même, tous sont écrits par d’éminents mathématiciens, physiciens, chimistes ou économistes qui ont été ses collaborateurs directs ; tous sont suivis d’une bibliographie spécifique à leur sujet ; tous comportent une partie de souvenirs personnels qui mettent en relief la personnalité hors norme de celui qui se définit lui-même comme un « bétourné », ou « maverick » c’est-à-dire un de ceux « dont la pensée et l’action présentent un niveau haut et constant d’autonomie, qui volent en solo et non pas en escadrille ».

Benoît Mandelbrot, doté d’une intuition géométrique exceptionnelle, choisit Polytechnique plutôt que l’ENS par attrait pour les mathématiques ancrées dans le réel, de préférence aux abstractions bourbakistes. Il fut longtemps chercheur chez IBM, ce qui fit de lui un pionnier de l’utilisation de l’informatique et de l’expérimentation en mathématiques.

Aux concepts, déjà étudiés par G. Julia (l’un de ses maîtres, avec Paul Lévy), de dimension non entière et d’autosimilarité (exacte ou statistique), il donna un statut d’outil universel, et les utilisa transversalement, conjointement avec les probabilités, dans des domaines aussi divers que l’astronomie, la géographie, la turbulence, le mouvement brownien, la physique des matériaux, le traitement de l’image, la biologie, sans oublier l’économie.

Il créa le mot « fractal », sans jamais en donner une définition rigoureuse mais seulement une « caractérisation ouverte et intuitive procédant par touches successives », pour unifier cette extraordinaire diversité, avec pour fil conducteur l’idée de rugosité. En attestent les titres de certaines des contributions à ce volume : « L’universalité des formes fractales dans la nature » (B. Sapoval) ; « Le mouvement brownien fractionnaire » (M.S Taqqu) ; « Objets fractals et art » (J.-P. Allouche) ; « BM & MB : Benoît Mandelbrot et le mouvement brownien » (B. Duplantier) ; « Cascades infiniment divisibles  » (R. Riedi) ; « Benoît Mandelbrot et la turbulence » (u. Frish) ; « Le fabuleux destin des cascades de Benoît Mandelbrot » (J. Barral, J. Peyrière) ; « Benoît Mandelbrot et la modélisation des risques financiers » (R. Cont).

Ces articles développent, autant que faire se peut dans l’espace réduit de quelques dizaines de pages, les théories de Mandelbrot, y compris les extensions, et démonstrations de conjectures, par ses disciples  : il reconnaît lui-même dans « Apprenti bétourné » que « [sa] contribution principale a non pas consisté à apporter des preuves mais à poser des questions ». Les réponses à certaines de ces questions ont fourni la matière à deux médailles Fields !

Les autres textes sont davantage des souvenirs et des témoignages : « Ma rencontre avec Benoît Mandelbrot » (M. Mendes- France) ; « Le sage qui nous a appris à redécouvrir la beauté de la nature » (M.-O. Coppens) ; « Souvenirs des années 80 » (C. Tricot) ; « Benoît comme catalyseur, un cas » (J.-P. Kahane) ; « Benoît Mandelbrot : always a student » (M. Frame) ; mais tous incluent aussi une introduction à l’un au moins des aspects de l’œuvre.

De la multiplicité de ces points de vue émerge peu à peu pour le lecteur un panorama général de la géométrie fractale et de ses applications. Cependant, vue la complexité du sujet, pour beaucoup de lecteurs non spécialistes du domaine, cette vision risque de rester floue, et certaines pages absconses ; mais ce premier contact est stimulant et donne envie d’aller plus loin. Outre ce simple aspect documentaire et culturel, ce livre et les quelques centaines d’ouvrages cités en bibliographie pourront ouvrir des portes aux chercheurs et aux historiens des mathématiques.

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