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  APMEP   Calculatrices, nombres positifs, précisions relatives, pourcentages et distance logarithmique

Article du bulletin 458

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Stéphane Junca [1]

Résumé

La représentation des nombres utilisée par la calculatrice modifie grandement la notion de précision utilisée en classe de mathématique.

Nos calculatrices utilisent l’écriture des nombres à virgule flottante (une mantisse, et un exposant puissance de 10). En général, à cause de la capacité de la calculatrice, l’exposant est compris entre -99 et +99, donc chaque calculatrice travaille sur un ensemble fini de nombres, l’ensemble des nombres flottants de la calculatrice, représentation toujours utilisée en interne dans la calculatrice et accessible dès le collège.

Comme on s’intéresse au nombre de "chiffres significatifs", on ne s’intéresse qu’à la "précision relative" du nombre affiché, ce qui introduit les " distances relatives ", invariantes par changement d’échelle, qui permettent de modéliser la lecture et l’interprétation des résultats numériques de la calculatrice. Des tests numériques conduisent à la notion d’écarts relatifs, puis aux pourcentages.

Enfin, on s’intéressera à l’inégalité triangulaire pour ces écarts relatifs, et aux inégalités triangulaires relatives, et par itération on aboutira, via la méthode des rectangles, à la distance logarithmique dlog, qui expliquera le comportement des fonctions puissances, exponentielles et périodiques et aboutira au théorème des accroissements finis relatifs.

En conclusion, l’auteur précise que la calculatrice utilise toujours plus de chiffres en interne qu’à l’affichage.

Plan de l’article

  • 1. Introduction
  • 2. À vos calculatrices
  • 3. Nombres flottants positifs
  • 4. Écarts relatifs, taux d’augmentation et de diminution
  • 5. Distances relatives et distance logarithmique
  • 6. Théorème des accroissements finis relatifs
  • 7. Épilogue
  • Références

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(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] IUFM et Université de Nice, Laboratoire J. A. Dieudonné, UMR CNRS 6621.


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