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  APMEP   D’Euclide à Lobatchevski

Article du bulletin 479

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Pourquoi 20 siècles d’attente ?

Jacques Verdier

Résumé de l’article

Dès qu’Euclide eut énoncé son cinquième postulat, on a trouvé sa formulation complexe. Certains ont voulu le remplacer par un énoncé plus simple (ex : Par un point extérieur à une droite on peut tracer une et une seule parallèle à cette droite). D’autres ont pensé qu’il devait avoir rang de théorème, et ont donc cherché à le démontrer : sa négation devait aboutir à une contradiction. On n’a pas trouvé de contradiction, mais cette négation entraînait des propiétés géométriques "incroyables", contraires au "bon sens", donc refusées. _ Jusqu’à ce qu’on finisse, vingt siècles plus tard, par admettre qu’il pouvait exister une géométrie non euclidienne... C’est cette histoire que brosse l’article, des contestations grecques aux commentateurs arabes et européens d’Euclide, en passant par les précurseurs des géométries non euclidiennes Saccheri et Lambert pour terminer par les "30 glorieuses" (1805-1835) avec Bolyaï, Gauss et Lobatchevski.

Plan de l’article

  • Introduction
  • La géométrie d’Euclide
  • Les contestations grecques du cinquième postulat.
  • Les commentateurs arabes d’Euclide
  • Les commentateurs européens d’Euclide
  • Les précurseurs des géométries non-euclidiennes
  • 1805-1835, les « 30 glorieuses » : Bolyaï, Gauss, Lobatchevski

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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