par la Commission Inter-IREM Collège
coordonnateurs : Fabienne Lanata, Vincent Paillet
responsables de la Commission Inter-IREM Collège

brochure APMEP n° 181
104 pages, ISBN 2-912-846-57-9

Dans sa préface, René Cori — président de l’ADIREM, Directeur de l’IREM de Paris 7 — stigmatise une certaine tentation de retour à des méthodes d’enseignement d’un autre âge, « en totale contradiction avec la démarche qui a toujours été celle des IREM et de l’APMEP , […] qui exige [...] questionnement […] adaptation […] expérimentation […] réflexion » … ; démarche qui induit que « l’enseignement des mathématiques, à quelque niveau que ce soit, n’est pas une simple formalité qu’on pourrait confier au premier répétiteur venu ! »

Il nous indique ensuite que l’«  ouvrage est structuré en quatre grandes parties, précédées d’un article introductif général qui nous donne quelques outils conceptuels importants permettant d’éclairer l’ensemble. Chacune des trois premières parties est ensuite consacrée à une classe importante de nombres (rationnels, relatifs, irrationnels). […] dans chaque cas, la question traitée fait l’objet d’un tour d’horizon assez complet. Chaque partie est organisée suivant les niveaux d’exposition étudiés, ce qui permettra au lecteur intéressé par un niveau donné d’aller droit au but. Une quatrième partie, particulièrement opportune, vient faire une synthèse de ce qui précède, sous la forme d’un bilan sur la notion de nombre après les apprentissages de la classe de troisième, bilan recommandé par le programme officiel. »

Article introductif

• Nombres et calculs au collège
  Dominique BENARD, IREM du Mans.
   
  Dans l’apparition des nombres au cours de la scolarité, il tente un premier pas dans l’institution d’une cohérence qui ne repose pas sur la reconstruction formelle (des structures), mais qui passe par un retour sur les significations et leurs transformations des divers usages du nombre en lien avec des problématiques abordables au niveau du collège. Le nombre sert à compter.
  Mesurer, c’est encore compter. Le comptage fonde encore l’écriture fractionnaire, sert à élaborer les techniques opératoires requises pour cette forme nouvelle. L’emboîtement constructif des structures reste sous-jacent et ne s’explicite jamais.
  Compter, mesurer et calculer sont les trois gestes caractéristiques du numérique qui permettent d’instituer une cohérence.
  Ces deux premiers gestes vont se trouver mis à mal par l’irruption d’une autre forme – la racine carrée – qui va rendre nécessaire un saut dans la conception des nombres. L’appui géométrique est le fondement essentiel pour confirmer le manque de nombres nouveaux. Sur cette nouvelle forme de nombres, les techniques opératoires doivent prolonger les anciennes, y compris dans leur rapport au problème géométrique initial.
  La technique numérique s’émancipera par la suite, fonctionnant pour elle-même en dehors du terrain géométrique. Le déplacement du sens des opérations doit être pointé et sa reconstruction entamée.
  L’introduction des nombres relatifs semble rompre le dernier lien entre nombre et grandeur, quantité ; le nombre entier relatif se rapportant à une position.
  Si certaines situations aident à l’élaboration des règles opératoires, le sens profond du numérique réside dans l’opératoire qui est toujours manipulation de formes.

Partie 1 — Les rationnels

• Reconstruction des nombres décimaux
  Annick MASSOT, Georges PONS, IREM des pays de la Loire
   
  Cet article propose, grâce à la notion de fraction partage, de faire le lien entre fraction décimale et écriture des nombres décimaux. Le travail s’organise autour de quatre activités élèves utilisant la demi-droite graduée et intégrant des temps de travail individuel et collectif.

• Saut de puce, groupe didactiques des maths
  IREM d’Aquitaine
   
  Ce deuxième article se place dans le cadre d’une situation problème. Des équations du type ax=b avec a et b entiers ne vont pas avoir de solution dans D et des rationnels écrits sous forme de fractions répondront à ce problème, en complétant le lien entre fraction partage et rationnel.

• Introduction de la somme de deux nombres en écriture fractionnaire, Vincent PAILLET, Mireille SAUTER, IREM d’Orléans, IREM de Montpellier
   
  Ce dernier article propose de renforcer le statut de nombre aux écritures fractionnaires en les additionnant. Deux approches sont proposées : l’une utilisant les guide ânes, l’autre des représentations graphiques (longueurs et aires).

Partie 2 — Les relatifs

• Des équations pour introduire les nombres relatifs
  IREM d’Aquitaine
   
  Dans cet article, les auteurs pensent que l’introduction des nombres relatifs par une situation concrète pourrait créer des obstacles didactiques pour la soustraction et a fortiori pour la multiplication. Ils font donc le choix de les introduire dans un contexte interne aux mathématiques : le nombre négatif est le nombre qui rend possible la soustraction impossible jusqu’alors.

• Des déplacements pour introduire les nombres relatifs
  Christian JUDAS, Georges PONS, IREM des pays de la Loire
   
  L’utilisation de déplacements sur la droite graduée permet en même temps d’introduire les nombres relatifs et de les faire vivre tout de suite avec l’introduction de l’addition à partir de deux déplacements successifs. Il ne s’agit pas là non plus d’une situation concrète, mais elle fournit aux élèves qui en ont besoin un support matériel à leur compréhension, tandis que la majorité des élèves n’y font rapidement plus aucune référence.

Partie 3 — Les irrationnels

• En troisième : La racine carrée au collège
  Jean-Claude FENICE, Guillaume FRANÇOIS, Fabienne LANATA, Béatrice LEGOUPIL-FRACKOWIAK, Dominique POIRET, Commission Inter-IREM Collège
   
  Cette partie se compose de 4 activités inspirées de productions d’IREM.

• Carré d’aire double
  d’après l’IREM de Rouen
   
  « Racine carrée de 2 » est vue comme la mesure du côté d’un carré d’aire 2. Les élèves font le constat que ce n’est pas un nombre décimal ni un nombre rationnel. C’est donc un nouveau nombre. On le note .

• Rectangles d’aire 2
  Cette activité permet d’approcher par des rationnels.

• La racine carrée en troisième
  d’après Eric RODITI
   
  Ici est utilisé comme coefficient d’agrandissement et non plus comme mesure : c’est bien un nombre. Simultanément, la règle sur le produit des racines carrées émerge.

• Calculer avec les irrationnels
  d’après Michèle MATHIAUD
   
  À partir de situations géométriques, les élèves sont amenés à rencontrer différentes écritures d’un même nombre et donc à conjecturer les règles opératoires justifiant leur égalité. L’activité permet également d’invalider le "théorème-élève" relatif à la somme des racines.

Partie 4 — Un bilan sur les nombres au collège

• En troisième : synthèse sur les nombres au collège
  Annick MASSOT, Georges PONS, IREM des pays de la Loire
   
  Il s’agit ici de mettre de l’ordre dans tous les nombres apparus jusque-là, en donnant une perspective d’ensemble (avec et sans jeu de mot !) à des découvertes que les élèves ont faites au collège : un nombre entier est un nombre décimal,  n’est pas un nombre décimal, etc.

• En troisième : Des exposés… pour lire, écrire et dire sur les mathématiques
  Annick MASSOT, Georges PONS, IREM des pays de la Loire
   
  Des recherches historiques faites par les élèves sont l’occasion d’un éclairage nouveau sur les connaissances mathématiques enseignées au collège. Le travail de recherche et de présentation sous la forme de dossier et d’exposé, que propose cette activité, est en rapport avec plusieurs des compétences du socle commun.

Ma conclusion

Pour sa majeure partie, cette recension reprend la présentation des contenus de chaque partie, que les responsables de l’édition ont eu l’excellente idée d’inclure. Je termine donc en citant une nouvelle fois la préface de René CORI à propos de ces pages : « Elles s’adressent à des collègues qui se posent des questions et qui conçoivent leur propre formation comme partie intégrante de leur métier. [...] Ce que les collègues trouveront ici, c’est le fruit d’un véritable travail de recherche, mené par des équipes plurielles et conjuguant les apports de la théorie et de la pratique, de la discipline elle-même et de la didactique, en passant par plusieurs champs connexes (histoire, philosophie et épistémologie des mathématiques). »

Voici une excellente brochure qu’il faut se procurer et dont il faut assurer la promotion.

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