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  APMEP   Des mathématiciens découvrent le plus grand nombre premier

Article du bulletin 503

- 7 janvier 2015 -

Sous ce titre [1] (dans lequel il faudrait bien entendu ajouter « connu »), Maxime Lambert nous signale que Curtis Cooper de l’Université du Missouri vient de vérifier que le nombre $2^{57 \ 885 \ 161} - 1$ est premier. Ce nombre qui est le 48e nombre de Mersenne premier connu a une représentation décimale comprenant 17 425 170 chiffres : c’est actuellement le plus grand nombre premier connu. Le précédent était $2^{43 \ 112 \ 609} - 1$ dont le même mathématicien avait vérifié qu’il était premier en 2008 : sa représentation décimale ne comprend que 12 978 189 chiffres !

La vérification a été faite sur le réseau d’ordinateurs du programme de recherche GIMPS et a nécessité 37 jours de calcul et deux vérifications.

La recherche du plus grand nombre premier connu se concentre actuellement sur l’étude des nombres de Mersenne de la forme $M_p = 2^p - 1$ où $p \in \mathbb N$. Puisque

$$2^{mn} -1=(2^{m-1})(2^{m(n-1)}+2^{m(n-2)}+...+2^m-1),$$

$M_p$ n’est pas premier si p n’est pas premier. Mais l’exemple de $M_{11}= 23 \times 89$ montre que $M_p$ peut ne pas être premier pour p premier.
Par contre on a le test de primalité de Lucas-Lehmer : Soit $S_n$ la suite définie par

$$S_2=4, \ S_n=(S_{n-1})^2-2 \text{ pour } n>2$$

$M_p$ est premier si et seulement si le nombre $S_p$ est divisible par $M_p$.
Ce test ramène le problème à des calculs simples, mais sur des nombres rapidement gigantesques. Il a permis à Lucas de montrer en 1876 que le nombre $M_{127}$ (un nombre à 39 chiffres !) est premier. Ce nombre est resté le plus grand nombre premier connu jusqu’à 1952. Le développement des gros ordinateurs a alors permis de faire passer le nombre de nombres de Mersenne premiers connus de 22 à 34.
Mais il semblait difficile d’aller plus loin avec les ordinateurs traditionnels.
George Woltman propose alors d’utiliser les techniques de calcul parallèle en créant le GIMPS (Great Interest Mersenne Prime Search) consistant à utiliser un réseau de micro-ordinateurs (volontaires). Il réalise lui-même le logiciel permettant de piloter un réseau qui peut actuellement effectuer $150 \times 10^12$ calculs par seconde.
C’est avec cet outil qu’ont été obtenus 14 nouveaux nombres de Mersenne premiers dont les trois derniers dûs à Curtis Cooper.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] http://www.maxisciences.com/math%E9... plus-grand-nombre-premier_art28545.html


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