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  APMEP   Du plaisir en mathématique

Article du bulletin 503

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Frédéric Morlot [1]

En juin dernier, nos chers élèves de la série S ont eu le plaisir de plancher sur l’épreuve de mathématiques au baccalauréat… Je ne sais pas si « plaisir » est le premier mot qui leur viendrait à l’esprit, et pourtant je rêverais qu’il en fût ainsi ! Car oui, je provoque en écrivant cela, mais les mathématiques peuvent être vues comme une activité ludique – certes exigeante – pour peu qu’on ait la chance de ne pas en avoir peur.

Mais revenons à notre épreuve du crû 2012. Avant toute chose, tordons le cou à une rumeur selon laquelle le niveau baisserait d’année en année ; ou du moins soyons précis, et dissocions les grilles de notation, qui, elles, ont probablement évolué, du niveau des énoncés. Je suis donc allé exhumer l’épreuve à laquelle j’avais eu droit moi-même il y a une douzaine d’années, et sa difficulté ne m’a pas semblé supérieure à celle de cette année. Tout au plus peut-on remarquer que, en dépit de la volonté affichée de valoriser la « prise d’initiative », l’élève est plus accompagné qu’autrefois, dans la mesure où on lui suggère davantage de réponses. Ainsi, on ne lui demandera pas de « trouver la probabilité d’être recruté dans telle entreprise », mais plutôt de « prouver que cette probabilité est de 93% ». On juge toujours de sa capacité à raisonner, mais plus tellement de son habileté au calcul, hélas démodée ! Or c’est une condition de dignité, ne nous laissons pas infantiliser par les machines à calculer !

De tous les exercices, c’est décidément le troisième [2] qui a le plus retenu mon attention, car il ouvre de nombreuses perspectives sur de belles mathématiques de haut niveau, aux confins de la philosophie…

Les paradoxes de Zénon [3] montrent bien qu’en additionnant une infinité de durées de plus en plus petites, on peut très bien obtenir une durée totale … finie.

Au contraire, dans notre exercice, nous avions sans doute un des premiers exemples historiques de « série » dont la somme est infinie, bien que les termes que l’on somme tendent vers zéro. Il s’agit de la série dite harmonique :

$$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6} …$$

On dit que la série « diverge ». Comment s’en convaincre ? Prenez le premier terme, 1/1. Il est évidemment supérieur à 1/2. Puis le deuxième, qui est exactement égal à 1/2. Ensuite, regroupons les termes par paquets de plus en plus grands : les deux termes suivants sont égaux à 1/3 et 1/4, et leur somme est donc supérieure à 1/4 + 1/4 = 1/2. Les quatre termes suivants ont une somme supérieure à 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2. Les huit termes suivants ont une somme supérieure à 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 1/2. Et ainsi de suite… Nos paquets de plus en plus grands possèdent toujours une somme supérieure à 1/2, et en les sommant à leur tour, on atteint une limite aussi grande que l’on veut !

Une fois que l’on sait cela, on peut se demander à quelle vitesse la somme croît… Le but de cet exercice était de montrer qu’on obtenait une bonne approximation de la somme des n premiers termes en calculant le logarithme de n. Célèbre problème qui trouve ses origines chez Euler, incontournable mathématicien du XVIII e siècle qui prouva que l’erreur entre les deux nombres tendait vers une constante qui porte maintenant son nom :

$$\gamma= 0.5772156649015328606…$$

Dans la question C) 3, il était d’ailleurs précisé « qu’on ne demandait pas de calculer cette limite »… Heureusement pour les pauvres candidats, car pour obtenir 4 chiffres après la virgule, il faut déjà calculer plus de 10 000 termes !

Quoi qu’il en soit, cette série harmonique est directement reliée à un des plus beaux joyaux de l’arithmétique, je veux parler des nombres premiers. On sait depuis Euclide qu’il y en a une infinité, et depuis la fin du XIXe siècle qu’ils se font de plus en plus rares. On pourrait donc se demander si la somme

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{11}+\frac{1}{13} …$$

converge. Eh bien il n’en est rien, comme un élève de classe préparatoire astucieux pourrait vous le montrer à partir de la série harmonique. En revanche, il existe un célèbre problème qui est de savoir s’il existe une infinité de nombres premiers « jumeaux », c’est-à-dire consécutifs lorsqu’on énumère les nombres impairs (à part 2, un nombre premier est toujours impair) : 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, ou … 1997 et 1999. À l’heure actuelle on n’en sait rien, mais un dénommé Viggo Brun a prouvé en 1919 que la série associée aux nombres premiers jumeaux, elle, convergeait… Mais souvenez-vous d’Achille et de la tortue, cela ne prouve pas forcément qu’il y en a un nombre fini !

Je termine ici mon petit tour d’horizon avec un grand sentiment de joie, celui d’être né à une époque où on peut demander à toute une génération d’adolescents de travailler sur des problèmes que les meilleurs mathématiciens de la planète au Moyen-Âge auraient été incapables de résoudre…

Annexe : sujet de l’exercice 3, bac S, juin 2012

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] morlotfrederic@yahoo.fr

[2] Voir énoncé en annexe.

[3] Voir par exemple l’article de Michel Fréchet « Achille ne rattrapera jamais la tortue », BV 463, avril 2006


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