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  APMEP   Problèmes du BV 489

Article du bulletin 489

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et solutions des 482-3 et 484-2

Hochart Max

Les propositions de problèmes, solutions ou commentaires, sont à envoyer à

Max HOCHART
13, rue des Garennes
63800 Cournon d’Auvergne

ou par courriel à

hochartmax@yahoo.fr

Énoncés des nouveaux problèmes

Problème 489-1

Pour n ∈ $\mathbb{N}$* , on note σ(n) la somme des diviseurs (dans $\mathbb{N}$*) de n. Si n est divisible par 24, en est-il de même de σ(n − 1) ?

voir l’article où est publiée la solution

Problème 489-2 (Question de Fernand Canonico)

Soit n un entier strictement positif. Pour $({u}_1, ..., {u}_n) \in \mathbb N^n$ on note

$$\varphi (u_1, ..., u_n) = (|u_2 - u_1|, |u_3 - u_2|, ..., |u_n - u_{n-1}|, |u_1 - u_n|). $$

Pour quelles valeurs de n une des itérées de $\varphi$ est l’application nulle ?

voir l’article où est publiée la solution

Problème 489-3 (Question de George Lion)

Soit $\mathcal{E}$ une ellipse de centre O, de foyers F et F′, d’axes de longueurs 2a > 2b, inscrite dans le parallélogramme ABB′A′, de point de contact avec (AB) noté M tel que

$$\frac{MA}{MB} = tan^2 \left( \frac{\widehat{A'AB}}{2} \right)$$

On note d = d(O,AB), c = OF, $\mathcal{P}$ le cercle de centre O et de rayon a et D le point d’intersection de (FF′) et de la perpendiculaire à (AB) menée par M.
1. Définir un cercle Γ, tangent à (AA′) et (BB′) et tangent extérieurement à $\mathcal{E}$ en M. On note C et R le centre et le rayon de Γ et r = DM.
2. Démontrer ab = dR, puis OC = a + b, enfin $\frac{r}R=\frac{b}{a}$
3. On mène par M la perpendiculaire à (FF′) qui coupe $\mathcal{P}$ en K du même côté de (FF′). Montrer que les points O, K, C sont alignés.
4. Application : l’ellipse $\mathcal{E}$ étant définie comme ci-dessus, donner une construction géométrique de ses axes.

voir l’article où est publiée la solution

Problème 489-4 (Question de Michel Lafond)

Le système

a + b + c = 6 et abc = 9

a-t-il des solutions dans $\mathbb{R_+}$ ? Dans $\mathbb{Q_+}$ ? Dans $\mathbb{R}$ ? Dans $\mathbb{Q}$ ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions des problèmes antérieurs

Problème 482-3

Pour n ∈ $\mathbb{N}$, on note S(n) la somme des chiffres dans l’écriture de n en base 10.

Trouver les k ∈ $\mathbb{N}$* tels que la suite $\left(\frac{S({n})}{S({kn})}\right)_{n \in \mathbb{N}^*}$ soit majorée.

Solution de Bernard Collignon (Coursan)

Solution d’Emmanuel Moreau (Dublin)

Problème 484-2

Soit G un groupe. Un élément g ∈ G est dit mou si, pour toute partie A $\subset G$ génératrice de G, A - $\left\{g\right\}$ reste génératrice. Montrer que l’ensemble des éléments mous est un sous-groupe de G. Trouver les éléments mous des groupes $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$, puis $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour $n \in \mathbb{N} $*.

Solution de Pierre Renfer (Saint George d’Orques)

Compléments sur le sous-groupe de Frattini

(Article mis en ligne par Annie LE LOUS)
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