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  APMEP   Encore « = »

- 21 février 2010 -

Raymond Raynaud

Dans le Bulletin vert 468, Claudie Asselain-Missenard présente une critique rigoureuse et nécessaire de « l’honnête résolution » d’une équation du premier degré, par les voies les plus malhonnêtes et les plus propres à condamner nos élèves à l’incompréhension.

Pour tordre le cou à ces désastreuses pratiques, une seule arme. À partir d’un certain niveau scolaire, restituer et conserver en toutes circonstances au signe = son unique sens : a = b signifie que a et b sont deux représentants du même objet.

Considérons l’exemple de Claudie Asselain-Missenard.

Résoudre l’équation $ 2(x + 1)^{2} - (2x^2- 1) = 0$.

Examinons le premier membre de l’équation, qui a l’air bien chargé.

Après développement et réductions on constate que, pour tout x,
$2(x + 1)^{2} - (2x^2- 1) = 4x + 3.$

Rien d’ambigu. On affirme que :

Pour tout x, $ 2(x + 1)^{2} - (2x^2- 1)$ et $4x + 3$ sont deux représentants du même nombre.

Le problème proposé se réduit à : Résoudre l’équation 4x + 3 = 0.
- a/ Supposons que 4x + 3 = 0.
Le signe = garde son sens : On suppose que le choix de x fait que 4x + 3 et 0 représentent le même nombre.
Alors 4x = −3 et x = −3/4. Toujours avec le même sens du signe =.

Donc, si l’équation a une solution, elle ne peut être que le nombre −3/4.

- s/ Supposons que x = -3/4.
Alors 4x = −3 et 4x + 3 = 0.
-3/4 est une solution de l’équation.

- as/ L’équation a une solution et une seule le nombre −3/4.

Toutes les écritures précédentes du type a = b ont l’unique sens : a et b représentent le même objet.

« L’honnête résolution » justement critiquée par Claudie Asselain-Missenard est malfaisante et inadmissible.

Elle repose sur une prétendue élasticité du sens du signe = qu’il faut radicalement proscrire.

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