Accueil » Publications » Le Bulletin Vert » Les Problèmes de l’APMEP » Enoncé du problème 316
  APMEP   Enoncé du problème 316

Article du bulletin 466

Adhérer ou faire un don

et solutions du problème 307

- 12 avril 2010 -

Énoncé no 316 (Mireille GENIN, 44-Nantes)

D, E et F sont les pieds des bissectrices intérieures d’un triangle ABC. Montrer que le triangle DEF est rectangle si et seulement si l’un des angles du triangle ABC vaut 120°.

Solutions

Énoncé n° 307 (François DUC, 84-Orange)

On veut pouvoir peser avec une balance Roberval n’importe quel objet de masse entière, inférieure ou égale à M grammes, en disposant uniquement de n poids dont la somme des masses ne dépasse pas M. Exprimer en fonction de M la plus petite valeur possible de n, et indiquer les masses des poids correspondants.

SOLUTION J’ai reçu des solutions de Richard BECZKOWSKI (71-Chalon sur Saône), René BENOIT (91-Palaiseau), Christine FENOGLIO (69-Lyon), J.C. LAUGIER (17- Rochefort), René MANZONI (76-Le Havre), Annie PERROT (75-Paris), Pierre SAMUEL (92-Bourg la Reine) et André STEF (54-Nancy), mais tout le monde n’a pas vu que chaque poids peut être mis soit sur le plateau de droite, soit sur le plateau de gauche de la balance. De sorte qu’avec n poids, de masses $a_1, a_2, \ldots, a_n,$ on peut peser les objets de masse :

|$\epsilon_{1}a_{1} + \epsilon_{2}a_{2} + \ldots+ \epsilon_{n}a_{n} $|, avec $\epsilon_{k} = 1$ si on met le k-ième poids sur le plateau de droite, $\epsilon_{k} = -1$ si l’on met le k-ième poids sur le plateau de gauche et $\epsilon_{k} = 0$ si l’on n’utilise pas le k-ième poids. Si la somme est positive, il faudra mettre l’objet à peser sur le plateau de gauche, sinon il faudra le mettre sur le plateau de droite.

Il est clair qu’on obtient ainsi au plus $3^{n}$ sommes distinctes, dont 0, et que si la somme s est obtenue, la somme −s l’est également. De sorte qu’avec n poids, on peut peser au plus $(3^{n} -1)$/2 masses distinctes strictement positives.

Si donc $\frac{3^{n} -1}{2}< M \leq \frac{3^{n+1}-1}{2 }$, il faudra au minimum (n + 1) poids. Pour peser toutes les masses entre 1 et $\frac{3^{n} -1}{2}$, il suffit de prendre des poids de masse $1, 3, 9, \ldots, 3^{n-1} $ : cela se prouve par récurrence sur n.

Si tous les entiers entre $-\frac{3^{n} -1}{2}$ et

$\frac{3^{n} -1}{2}$

peuvent s’écrire

$\epsilon_{1}+ \epsilon_{2}x3 +\ldots+ \epsilon_{n}x3^{n-1} $

(ce qui est manifestement vrai pour n = 1), tout entier k entre $-\frac{3^{n+1}-1}{2}$ et $\frac{3^{n+1}-1}{2} $ peut s’écrire

$\epsilon_{1}+ \epsilon_{2}x3 +\ldots+ \epsilon_{n}x3^{n-1} +\epsilon_{n+1}x3^{n} $,

avec $\epsilon_{n+1} = +1$ si $k > \frac{3^{n}-1}{2}$,

$\epsilon_{n+1} = -1$ si $k < -\frac{3^{n}-1}{2}$,

$\epsilon_{n+1} = 0$ sinon.

Pour peser toutes les masses entre 1 et M, il suffit de remplacer la dernière masse $3^n $ par :

$m = M -\frac{3^{n}-1}{2}$.

On n’a d’ailleurs pas le choix : un poids plus léger ne permettrait pas d’atteindre la masse M, un poids plus lourd ne respecterait pas l’hypothèse de l’énoncé que la somme des masses ne dépasse pas M.

Le raisonnement ci-dessus s’applique en remplaçant $3^n$ par m, et permet de conclure que le nombre cherché est : $1 + E(log_{3}(2M + 1))$.

Un problème voisin, classique, consiste à trouver parmi 3n pièces, dont une seule est plus légère, laquelle est plus légère, avec n pesées sur une balance Roberval. Si une seule de M pièces est différente des autres, mais soit plus légère soit plus lourde, comment faut-il s’y prendre pour la déterminer avec le minimum de pesées ?

 Accueil   Plan du site   Haut de la page   Page précédente