Ces exercices ont été publiés dans le BV 481 sous le nom d’exercices 480-xx.

EXERCICES

Exercice 480-1 (Daniel Reisz – Auxerre)

Que peut-on dire de la suite de réels \((u_n)\) vérifiant \(u_1 = 1\) et, pour tout m et n,

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Exercice 480-2 (Daniel Reisz – Auxerre)

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Exercice 480-3 (Daniel Reisz – Auxerre)

Quel élève n’a pas eu au moins une fois dans sa vie mathématique la tentation d’écrire
(f g)’ = f ’g’ ?

Y a-t-il des fonctions pour lesquels cette règle est vraie ? Que peut-on en dire ?

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Exercice 480-4 (Georges Lion – Wallis)

Soit deux groupes finis G et G’ et une bijection \(\phi\) de G sur G’ tels que, pour tout
\(x\in G,\) alors \(\phi(x)\) soit de même ordre que x. Se peut-il que \(\phi\) ne soit pas un isomorphisme ?

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SOLUTIONS

Exercice 478-1 (Pierre Duchet et Jean Moreau de Saint-Martin – Paris)

Soit \(\Delta\) une droite et O un point extérieur à la droite. On considère un nombre
indéterminé de points \(A_i\) de \(\Delta\) tels que les cercles inscrits dans les triangles \(OA_{i}A_{i+1}\)
soient tous de même rayon r. Démontrer que, quel que soit k, les cercles inscrits dans
les triangles \(OA_{i}A_{i+1}\) sont tous de même rayon \(r_k\)

Solution de Raymond Raynaud (Digne)

Exercice 478-2 (Georges Lion – Wallis)

Trouver le lieu géométrique des centres des triangles équilatéraux inscrits dans un
carré.

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville)

Exercice 478-3 Exercices pour amateur (Édouard Lucas nombres [tome 1] – Nouvelle édition : Blanchard 1961)

1°) On partage la suite des nombres impairs en groupes contenant
2, 3, …, n termes. Trouver la somme des p termes du groupe
de Gérase [environ 100 ans av. J.C.])
2°) On partage la suite des nombres entiers en groupes contenant
2, 3, 4, …, n termes. Démontrer que la somme des termes renfermés dans les n
premiers groupes de rang impair est égal à \(n^4\).
3°) Démontrer que la somme des \(n^2\)
entiers qui suivent les n
premiers
est le double
des n premiers cubes.

Solution de Marie-Laure Chaillout (Epinay/Orge)

Exercice 479-1 (Pierre Renfer – Ostwald)

À l’occasion de mon cinquante-neuvième anniversaire, j’ai trouvé sans démonstration,
dans l’excellent livre « Les nombres remarquables » de François Le Lyonnais, que 59
était le nombre de régions découpées dans l’espace par les plans des faces d’un octaèdre
régulier.
Comment le prouver ?

Solution de l’auteur