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  APMEP   Exercices deci-delà du BV 501

Article du bulletin 501.

et solutions du BV 499-1, 499-2, 499-3, 499-4

- 1er juillet 2014 -

Exercices

Exercice 501-1 Michel Lafond-Dijon

Le rectangle IJKL est partagé en huit domaines.
(Voir figure approximative ci-contre)

On connaît :
aire (CNK) = 104,
aire (AMI) = 9 et
aire (BMJN) = 143

Déterminer les aires des cinq autres domaines.

Il s’agit d’un prolongement de l’exercice 499-1 B, qui ne s’adresse plus vraiment directement aux élèves…

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 501-2 Daniel Reisz – Auxerre à proposer à nos élèves

A. Un trapèze ABCD est circonscrit à un cercle de rayon 2 cm comme le montre la figure ci-contre.
Le côté [CD] mesure 3 cm et les angles en B et C sont droits.

Calculer l’aire de ABCD.

B. Si les angles d’un triangle ABC sont en progression arithmétique et les côtés en progression géométrique, montrer qu’il est alors équilatéral.

C. Montrer que sur $\left] 0; \frac {\pi} {2} \right[$, on a $sin(\sqrt x)<\sqrt{sin(x)}$

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 501-3 (Jean Théocliste – Valence)

Calculer la valeur exacte de l’intégrale $\int_{- \frac{\pi}{2}}^0\frac{(cos\ x)^2+1}{1-sin\ x} dx$ .

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 501-4 pioché dans les 36èmes olympiades mathématiques espagnoles

Sur le réseau quadrillé ci-contre formé de 12 carrés, une personne P se déplace de A à B ; une personne Q, de B à A. Elles partent au même instant et vont à la même vitesse en suivant un trajet le plus court possible. À chaque intersection elles choisissent entre les chemins possibles avec une même probabilité.
Quelle est la probabilité que P et Q se croisent en chemin ?

Voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 499-1 piochés de-ci, de-là … à proposer à nos élèves

A. Trois carrés sont placés côte à côte à l’intérieur d’un triangle rectangle, comme le montre la figure ci-contre. Le plus petit carré mesure 16 mm de côté et le côté du plus grand 36 mm. Combien mesure le côté du carré du milieu ?

B. Les segments [BE], [CE], [AF] et [BF] partagent le rectangle ABCD ci-contre en plusieurs régions.
Quatre d’entre elles sont ombrées, deux triangles et deux quadrilatères.
Leurs aires respectives sont 2, 1, 13 et x.
Déterminer la valeur de x.

C. Déterminer tous les couples (x, y) de nombres entiers tels que :

$$ln\ x - ln\ y = ln (x - y).$$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques, Michel Lafond (Dijon), Raymond Heitz (Piriac), Annie Perrot (Paris), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Fabrice Laurent (Provins), Georges Lion (Wallis).

Télécharger les réponses succinctes en pdf

Exercice 499-2 (Georges Lion – Wallis)

Soit BAC un triangle tel que AB = AC et soit Γ le demi-cercle centré au milieu O de [BC], contenu dans le triangle et tangent à (AB) et (AC) respectivement en D et E.
Par un point variable M de Γ on mène la tangente à Γ qui coupe (AB) en P et (AC) en Q.

1) Exprimer l’angle en fonction des données fixes de la figure.
2) Trouver une relation caractérisant les points P et Q en termes de longueurs.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques, Fabrice Laurent (Provins), Jacques Borowczyk (Tours), Albert Marcout (Sainte Savine), Giovanni Ranieri (Melun), Georges Lion (Wallis).

Télécharger la solution de Georges Lion en pdf

Nota. Pensant sans aucun doute à l’association, Jacques Borowczyk propose un prolongement possible qu’il intitule naturellement : Le triangle APM.
Avec les mêmes données, montrer que les cercles exinscrits des triangles APM et AQM dans l’angle de sommet M sont tangents à la droite (AM) au même point N.

Exercice 499-3 (Bernard Collignon – Coursan)

Soit l’équation du second degré $x^2 + bx + c = 0$.

Les nombres b et c sont tirés au hasard dans l’intervalle [ -5 ; 5 ] ; on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de solutions réelles de cette équation.

Donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance E(X) dans les cas suivants :
1) b et c sont des nombres entiers relatifs.
2) b et c sont des nombres réels.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Giovanni Ranieri (Melun), Michel Lafond (Dijon), Annie Perrot (Paris), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Jean Gounon (Chardonnay), Bernard Collignon (Coursan).

télécharger la solution de Annie Perrot en pdf.

Nota. Michel Lafond a également étudié le cas plus général où b et c appartiennent à [-M ; M] (M nombre réel positif) et aussi réalisé des vérifications à l’aide de programmes effectués avec Maple.
Bernard Collignon, reste pour sa part dans l’intervalle [-5 ; 5 ] pour les paramètres, mais a prolongé l’étude à l’équation complète $ax^2 + bx + c = 0$. Il propose également les algorithmes réalisés avec Algobox.

Exercice 499-4 (Georges Kocher – Ravières)

Prouver que pour tout entier naturel n non nul on a : $\sum_{k=1}^{n} cos \frac{(2k-1)\pi}{2n+1} = \frac{1}{2}$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Giovanni Ranieri (Melun), Michel Lafond (Dijon), Annie Perrot (Paris), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Jean Gounon (Chardonnay), Fabrice Laurent (Provins), Michel Sarrouy (Mende), Pierre Lapôtre (Calais), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Angela Gammella-Mathieu (Metz), Raymond Heitz (Piriac), Georges Kocher (Ravières), Georges Lion (Wallis).

Télécharger la solution de Jean-Paul Thabaret en pdf

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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