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  APMEP   Études de régularité et logiciel GEOSPACW

Article du bulletin 464

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CRISTAUX ISSUS DU SYSTÈME CUBIQUE

- 16 mars 2016 -

Jean-Pierre Daubelcour & Anne-Marie Marmier

Résumé de l’article

Cet article est la suite de l’article paru sous le même titre dans un numéro précédent. Inspiré par les éléments de cristallographie trouvés dans la brochure APMEP "Pavés et bulles" publié en 1977. Il étudie ici le système cubique. Après des considérations minimales sur les isométries du tétraèdre et du cube, il rappelle le groupe des 48 isométries du cube, puis construit , à l’aide de GéospacW les 5 formes régulières les plus générales du système cubique. Un des intérêts mathématiques et pédagogiques consiste dans l’aller-retour interactif entre le logiciel et le raisonnement, articulation du raisonnement géométrique avec la représentation analytique et les contraintes de commande de la machine. La progression amène à construire successivement les dodécaèdres (pentagonal tétraèdrique, à faces quadrilatères puis triangulaires), le gyroèdre, le diploèdre et l’hexatétraèdre (à 24 faces), l’hexoctaèdre (48 faces), et en cas particulier, le dodécaèdre rhomboïdal (à faces losanges), et l’octaèdre régulier, dont les faces sont des triangles équilatéraux.

Introduction

Nous avons été inspirés pour la réalisation de ce travail par l’ouvrage « Pavés et bulles, éléments de cristallographie mathématique » de Françoise Pécaut (chapitre IV) publié par l’APMEP en 1977. La notion de groupe s’est dégagée en cristallographie au XIXe siècle à travers les travaux de Bravais, qui effectue un travail purement géométrique d’étude des symétries conservant un réseau tridimensionnel avec la pensée de s’en servir ultérieurement pour approfondir le travail de ses prédécesseurs et expliquer les faits physiques fondamentaux de la cristallographie. Il trouve 7 systèmes cristallins, le système auquel appartient un cristal étant défini par le groupe d’isométries de sa structure interne. (...)

Plan de l’article

CONSTRUCTION DES CINQ FORMES RÉGULIÈRES LES PLUS GÉNÉRALES DU SYSTÈME CUBIQUE

  • I. Représentation du cube et des deux tétraèdres réguliers associés
  • II. Rappels sur le groupe G des 48 isométries du cube
    • 1. En considérant le repère associé au cube
    • 2. En considérant les deux tétraèdres inscrits dans le cube
  • III. Les cinq sous-groupes associés au système cubique
  • IV. Préparation à la construction de formes cristallines du système cubique
  • V. Construction des formes cristallines du système cubique.
  • VI. Cas particulier : le plan P est invariant par une rotation du sous groupe G+.
  • Bibliographie

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(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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