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  APMEP   Euler et le parcours du cavalier

Article du bulletin 514

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avec une annexe sur le théorème des polyèdres.

Marc Roux

- 5 juin 2015 -

par Jacques Sesiano

Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 2015.

272 pages en 16 x 24. Prix : 52,15€.

ISBN : 978-2-88074-857-9

Résoudre le problème du cavalier consiste à parcourir une et une seule fois les 64 cases d’un jeu d’échecs en respectant le mode de déplacement du cavalier, c’est-à-dire avancer ou reculer de deux cases dans une des deux directions, et d’une case dans la direction perpendiculaire. Quelques solutions étaient connues avant Euler, dès le 9ème ou 10ème siècle, y compris des trajets « fermés », où le cavalier peut sauter de la case n° 64 à la case n° 1. Ce problème, simple « récréation mathématique » au même titre que celui des ponts de Königsberg (également résolu par Euler), a trouvé au moins une application dans la création littéraire, à travers « La vie mode d’emploi » de Georges Pérec (Cf. article d’A. Gazagnes dans le BV no°511).

Euler, le premier, publia en 1758 un article où il étudiait la question méthodiquement, recherchant le plus grand nombre de solutions, ajoutant des trajets avec des contraintes supplémentaires (symétries, …) ou sur d’autres figures (rectangles, croix, …).
Jacques Sesiano analyse minutieusement cet article, ainsi que des notes préparatoires manuscrites.

Le volume est complété par une annexe sur le théorème d’Euler sur les polyèdres : F, A, S désignant respectivement les nombres de faces, d’arêtes, de sommets, on a F + S - A = 2 (pour tout polyèdre convexe, et certains non convexes, sous conditions).

Le plan de l’ouvrage est le suivant : Préface ; Introduction ; I : Établissement d’un trajet complet ; II:Trajets symétriques ; III : Trajets sur d’autres figures ; IV : Prédécesseurs d’Euler ; Annexe : Le théorème d’Euler sur les polyèdres ; Bibliographie ; Index ; Appendice I : L’article imprimé d’Euler sur le parcours du cavalier ; Appendice II : Les pages manuscrites d’Euler sur le parcours du cavalier. Les deux appendices sont des fac simile intégraux des documents d’époque.

Concernant la marche du cavalier, Euler n’a fait qu’appliquer systématiquement une remarque de Louis Bertrand qui permet de modifier l’ordre des cases d’un trajet et de lui en adjoindre de nouvelles. L’article original est remarquablement clair, les commentaires de Sesiano peuvent par moments sembler une paraphrase redondante (ce qu’il admet page 24) ; mais sur certains points, ils aident à suivre la pensée eulérienne, ils suggèrent des améliorations, ils soulignent des hésitations et repentirs d’Euler ; et ils sont indispensables pour déchiffrer le manuscrit, où les tableaux de nombres ne sont assortis que de rares remarques indifféremment en français, allemand ou latin.

J’émettrai quelques réserves sur la structure du texte : pourquoi les prédécesseurs sont-ils étudiés après Euler ? Pourquoi quasiment rien n’est-il dit de ses successeurs ? Par qui, et quand, a-t-il été montré que le nombre de trajets dépasse le milliard, comme il est dit page 21 ? quid du traitement informatique, de l’algorithmisation du problème ? Voilà quelques questions que j’aurais aimé voir abordées ; ainsi que celle-ci : a-t-il été démontré que le procédé de Bertrand-Euler permet toujours de transformer un trajet incomplet en un trajet complet ? L’annexe sur les polyèdres est, à ce niveau, moins frustrante  : on y trouve, après celles d’Euler, les démonstrations et généralisations de Legendre, Cauchy, Lhuilier. Cependant on aurait pu y évoquer une approche topologique  : sauf erreur de ma part, la formule est valable pour tout polyèdre homéomorphe à une sphère et dont toutes les faces sont homéomorphes à des disques.

Cet ouvrage, qui inclut de brèves biographies d’auteurs cités, doit être vu comme une étude historique plus que mathématique ; on y trouve quelques détails peu connus, comme l’utilisation par les arabes d’un double système de numération : chiffres indiens et symboles alphabétiques. Son intérêt essentiel est de faire lire Euler, y compris par ceux qui ne seraient pas spontanément allés chercher ses écrits originaux ; de montrer sa rigueur et sa clarté, d’étudier la marche de sa pensée vers une extension de ses résultats.

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