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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 485

Article du bulletin 485

et solutions des 480-4, 482-2, 482-3

- 1er mai 2015 -

Errata de l’énoncé de l’exercice 484-3

L’équation correcte est $3x^2 − 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$ et non pas $3x^2 + 8y^2 + 3x^2 y^2 = 2008$.

Avec toutes mes excuses pour cette faute de frappe. Cette erreur avait été repérée trop tardivement pour être rectifiée avant la publication du BV. Elle a été signalée sur le site de l’APMEP dès la parution du no 484.

Pour me faire pardonner, je vous livre la récréation suivante que certainement beaucoup d’entre vous connaissent déjà, mais que j’ai découverte, pour ma part, il y a peu : C’est un résultat connu que la somme des n premiers entiers impairs, depuis 1, est égale à $n^2$ . Qu’en est-il pour la somme des n premiers entiers impairs, depuis n (n − 1) + 1 ?

Exercices

Exercice 485-1 : Formule de Grimoire

Dans le trapèze ci-contre, B, b, c et d désignent les longueurs des côtés. On note p son demi-périmètre et S son aire.

Montrer que $S=\frac{B+b} {B-b}\sqrt{(p-B)(p-b)(p-b-c)(p-b-d)}$

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 485-2 (Georges Lion – Wallis)

Soit ABC un triangle d’aire S. Démontrer la relation :

$$AB^{2}+AC^{2}+BC^{2}\geq 4S \sqrt{3}$$

voir l’article où est publiée la solution
complément de la solution du 485-2

Exercice 485-3 Arithmétique

Démontrer le résultat suivant : Tout nombre entier qui est une puissance d’une somme de deux carrés est lui-même une somme de deux carrés.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 485-4 (Jean Théocliste – Valence)
Brevet supérieur Grenoble 1937

Pour n $\in\mathbb{N*}$, on note

$$ S_n=\frac{1}{2}+\frac{2}{4}+\frac{3}{8}+\cdots+\frac{n}{2^{n}}= \frac{1}{2}+\frac{2}{2^{2}}+\frac{3}{2^{3}}+\cdots+\frac{n}{2^{n}} $$

Écrire $S_n$ sous forme condensée. En déduire :
a) $ S_n$< 2.
b) la limite de $ S_n$ quand n tend vers +$\infty$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 480-4 (Georges Lion – Wallis)

Soient deux groupes finis G et G′ et $\varphi$ une bijection de G sur G′, tels que, pour tout $x \in$ G, alors $\varphi(x)$ soit de même ordre que x.
Se peut-il que $\varphi$ ne soit pas un isomorphisme ?

Télécharger la solution de Georges Lion (Wallis)

Exercice 482-1 (Le Facteur X, n° 68 de février 1961)

Avec 6 Nouveaux Francs exactement, Yves a acheté des cartes A à 45 francs, des cartes B à 40 francs et des cartes C à 30 francs. Le nombre des cartes A est supérieur à celui des cartes B et à celui des cartes C. Combien Yves a-t-il acheté de cartes de chaque sorte ? N.B – Il faut compter, au moins, deux cartes B et deux cartes C. (rappel pour les moins de cinquante ans : 1 Nouveau Franc = 100 francs).

Télécharger la solution de Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé)

Autres solutions : Frédéric de Ligt (Montguyon), Georges Lion ( Wallis), … ? … (Acoua, Mayotte).
(ces autres solutions, plus conventionnelles, relèvent d’arithmétique du type de la spécialité de terminale S)

Nota. Si la solution, ici proposée, constitue un joli pied de nez au modernisme (les anciens ne nous ont certainement pas attendu pour résoudre ce genre de problème !), il n’en demeure pas moins que les outils modernes, avec la possibilité de mouvement qu’ils apportent et leur précision, permettent une approche graphique. Constitue-t-elle une démonstration ...?

Vous trouverez sur le site un fichier Géogébra illustrant cette possibilité (rubrique Publications » Le Bulletin Vert » Les sommaires » Sommaire du Bulletin no 485).

Exercice 482-2 (Georges Lion – Wallis)

  • Soit x, y et z, trois entiers premiers > 3. Montrer que ${x}^2 + {y}^2 + {z}^2$ n’est pas premier.
  • Soit m et n deux entiers. Montrer que si $m^4 + 4n^4$ est distinct de 5 alors ce nombre n’est pas premier (résultat dû à Sophie Germain).

Télécharger la solution de Odile Simon (La Prénessaye)

Autres solutions : Bernard Collignon (Coursan), Pierre Samuel (Bourg- La-Reine), Jean-Yves Coquan (Albi), Raymond Raynaud (Digne), Frédéric de Ligt (Montguyon), François Thirioux (Ugine), René Vittel (Lyon), Pierre Lapôtre (Calais), … ?… (Acoua, Mayotte).
Nota. Pierre Lapôtre fait remarquer que le logiciel Xcas permet de vérifier que pour le premier point, $x^2 + y^2 + z^2$ est bien divisible par 3.

Exercice 482-3 (proposé par la Régionale de Toulouse)
« La somme des carrés des côtés d’un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses diagonales. »
Établir ce résultat et proposer un puzzle.

La régionale de Toulouse demandait la confection d’un puzzle, quatre sont à disposition. Devant la diversité des approches et les niveaux concernés, cet exercice fait l’objet d’un article spécifique lire l’article

Exercice 482-4 (Jean Théocliste – Valence)

Calculer $I=\int_{0}^{\pi \over 4} \ln(1+\tan x)\ \mathrm dx$ et $J=\int_{0}^{2\pi} \sqrt{1+\sin x}\ \mathrm dx$ .

Autres solutions : Bernard Collignon (Coursan), Frédéric de Ligt (Montguyon), Pierre Lapôtre (Calais), Georges Lion (Wallis).

Autres solutions : Bernard Collignon (Coursan), Frédéric de Ligt (Montguyon), Marie-Paule Bidot (…/…), Georges Lion (Wallis).
Nota. J’ai privilégié ici les présentations qui me semblent accessibles à des élèves de terminale ; mais de façon générale, les exercices de la rubrique de-ci de-là, demandent certainement d’être habillés pour être proposés à nos élèves. N’hésitez pas à me faire part de vos commentaires à ce sujet ou des exploitations que vous auriez faites en classe.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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