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  APMEP   Exercices "De-ci, de-là" du BV 468

Article du bulletin 468

et solutions du 466-1, 466-2, 464-1, 464-2 et 463-3

- 22 février 2016 -

Exercices

Exercice 468-1 (Jean-Christophe Laugier - Rochefort) – Corol’aire n° 65
Déterminer des entiers A et B tels que A / B = 0,2006… avec B minimal.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 468-2 (Jacques Bouteloup - Rouen)
On considère un cercle (C), un diamètre [AB], une corde [CD] parallèle à [AB], et un point M de la droite (AB) (et non du segment [AB]) ; (MC) et (MD) recoupent (C) en E et F ; la perpendiculaire en M à (AB) coupe (CD) et (EF) en H et K.
1) Démontrer que M est le milieu de [HK].
2) Démontrer que, lorsque M décrit la droite (AB), la droite (EF) enveloppe une ellipse que l’on précisera.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 468-3 (Raymond Raynaud - Digne)
Deux hauteurs et deux médiatrices pour un losange
Dans un triangle ABC, les hauteurs issues de B et de C et les médiatrices des côtés [AB] et [AC] portent les côtés d’un parallélogramme.
Pour quels triangles ABC ce parallélogramme est-il un losange ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 464-1 (Georges Lion – Wallis, et Maurice Starck – Nouméa)

En le point Q milieu d’une corde [AB] d’un cercle C se coupent deux cordes [UV] et [XY] ; la droite (AB) coupe (UX) en M et (VY) en N. Montrer que Q est aussi le milieu de [MN].
On souhaite une solution sans calculs et, si possible, élémentaire.

Nous avions rendu compte des solutions à cet exercice dans le dernier Bulletin Vert.
Deux autres solutions nous sont parvenues : celle de l’auteur de l’exercice qui, comme il l’espérait, a trouvé une solution sans calculs et élémentaire ; celle d’Alain Larroche qui n’utilise pas la notion de polaire ni de conjugaison harmonique.

Exercice 464-2 (Georges Lion – Wallis)

À tout point P intérieur à l’ensemble E délimité par le segment [AB] et deux demi- droites [Ax) et [By) à supports parallèles et de même sens on associe le point Q intérieur à E tel que les angles $ \widehat{xAQ} $ et $ \widehat{BAP} $ soient égaux, de même que les angles $ \widehat{yBQ} $ et $ \widehat{ABP}$ . Trouver le lieu géométrique du milieu I de [PQ].

Solution de l’auteur
Solution de Pierre Renfer (Ostwald)
Autres solutions : Raymond Raynaud (Digne), Alain Corré (Moulins), René Manzoni (Le havre).

Exercice 466-1 (Christian Planchon – Marvejols)

L’ivrogne 18-DeCiDeLa1
Pour rentrer chez lui, Don Garcia doit traverser un pont sans balustrade, constitué de trois rangées de trois dalles ; ses amis l’ont laissé sur la dalle centrale de la première rangée. Saoul comme il est, s’il tombe à l’eau, c’est la noyade assurée.
Les yeux rivés sur l’autre berge, il s’élance. Titubant, il a autant de chance de faire un écart à gauche qu’un écart à droite ou qu’un pas en avant.
L’amplitude de ses écarts et de ses pas étant égale aux côtés des dalles carrées, quelle est la probabilité pour qu’il traverse ?

Solution de Pierre Renfer (Ostwald)
Autre solution : Alain Corré (Moulins).

Exercice 466-2 (Stéphan Manganelli – Carpentras)

Les nombres métaux
On connaît très bien le nombre d’or, solution positive de l’équation $x^2 = x + 1$.
On connaît un peu moins le nombre d’argent, solution de $x^3 = x^2 + x + 1$.
On connaît très peu le nombre de bronze, solution positive de $x^4 = x^3 + x^2 + x + 1.$

Et je m’arrête là pour la suite de ces nombres métaux … dont j’ai conjecturé et montré la convergence vers 2 !

Solution de Raymond Raynaud (Digne)
Autre solution : Alain Corré (Moulins).
Autre solution : Marie-Laure Chaillou (Épinay sur Orge) qui précise :
La méthode est généralisable. Soit $a \in \mathbb R$ et $a \ge 1$.
$e_a : x^{n+1}=a(x^n+x^{n-1}+.....+1$ admet une seule solution $\varphi_n(a)$ dans $\mathbb R^+$ et

$$\varphi_n(a) \in \left] a+1-\frac{1}{(a+1)^n},a+1-\frac{1}{(a+1)^n}+\frac{1}{(a+1)^{n+1}} \right[ $$

Comment appeler ces nombres ? les nombres a-métalliques !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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