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  APMEP   Exercices "De-ci, de-là" du BV 469

Article du bulletin 469

et solutions du 467-1, 468-1

- 3 mai 2007 -

Enoncés

Exercice 469-1 (Louis Rivoallan (La Rochelle) – Corol’aire n° 59

On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n-1) zéros avec la convention précédente. Montrer, que pour tout n, il y a exactement 2 autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette condition.
L’idée est venue d’un collègue de l’IUFM de La Rochelle qui a cherché à généraliser un exercice posé au concours de recrutement des professeurs des écoles.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 469-2 (Jean Raynier – Marseille), relayé par Henri Bareil

On donne un triangle isocèle ABC (AB = AC) tel que $\widehat {BAC}= 20$°

Sur [AC] on prend le point E tel que $\widehat {EBC}= 60$°

Sur [AB] on prend le point D tel que$\widehat {DCB}= 50$°

Que valent, en degrés, les angles $\widehat {EDC}$ et $\widehat {DEB}$ ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 469-3 (Laurent Rouzière - Albi)

J’ai eu une question l’an passé en classe de seconde à propos de la construction de « l’escargot de Pythagore », voir figure jointe. Les longueurs AB, BC, CD, DE,... valent 1.

La question posée par un élève était la suivante :

"Est-ce que, si on continue la construction, on peut trouver un point aligné avec A et B ? »

Je ne sais pas si cela peut faire l’objet de cette rubrique et, surtout, je n’ai pas de solution !

(NDLR) Alors… ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions :

Exercice 467-1 (Michel Lafond - Dijon)

Se référant à l’exercice 461-1 de Georges Lion et Maurice Starck, Michel Lafond nous propose le théorème du sphinx (figure ci-dessous) : Pages-de-15-DeCiDeLa

Si dans un cercle, AB est une corde de milieu I, et si CD et EF sont deux autres cordes coupant AB respectivement en K et L avec I milieu de KL, alors :

Aile 1 : Si FC et DE coupent AB respectivement en M et N alors I est milieu de MN.

Aile 2 : Si FD et EC coupent AB respectivement en P et Q alors I est milieu de PQ.

Solution de Georges Lion (Wallis)
Solution de René Manzoni (Le Havre)
Autres solutions de Christine Fenoglio (Lyon), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), René Manzoni [une deuxième solution pour revisiter la trigonométrie], Raymond Raynaud (Digne).

Solutions renvoyant au théorème de Desargues : Christian Dufis (Limoges) et un lecteur anonyme.

Remarque de Jacques Bouteloup (Rouen)

L’exercice 467-1 (généralisant 464-1) a lui-même une généralisation projective qui est une conséquence immédiate du théorème de Desargues sur les faisceaux de coniques : Une droite est coupée par les coniques d’un faisceau en des couples de points se correspondant dans une involution (correspondance homographique bivolutive).
J’utilise la figure et les notations de l’énoncé de 467-1, mais je suppose que le cercle est remplacé par une conique quelconque, I n’étant pas forcément le milieu de AB.
Je considère les faisceaux de coniques de points de bases C, D, E, F qui comprend la conique donnée et les couples (A,B), (K,L), (M,N), (P,Q). Si I et J sont conjugués harmoniques par rapport à (A,B) et (K,L), ce sont les points invariants de l’involution, et ils sont également conjugués harmoniques par rapport à (M,N) et (P,Q). Lorsque I est milieu de [AB] et [KL], l’involution est une symétrie de centre I, et ce point est aussi milieu de [MN] et [PQ], J étant le point à l’infini de (AB).
C’est, bien entendu, valable avec une conique quelconque au départ. L’exercice 464- 1 est obtenu lorsque les sécantes passent par I, K et L étant confondus avec I. Il a déjà été posé (dans le cas particulier du cercle) dans Quadrature (exercice E.158, Avril 2001) sous le nom de théorème du Papillon.
Je pense qu’il est bon de chercher des exercices de démonstrations élémentaires pour des cas particuliers, mais qu’il peut être également valable de signaler que ce sont des aspects de propriétés générales. Encore faudrait-il qu’elles soient apprises aux futurs enseignants. La géométrie projective apparaît maintenant bien ignorée ! Qui connaît encore l’involution et le théorème de Desargues ?

Exercice 468-1 (Jean-Christophe Laugier - Rochefort) – Corol’aire n° 65
Déterminer des entiers A et B tels que A / B = 0,2006… avec B minimal.

Solution de Pierre Renfer (Ostwald)
Solutions de Serge Parpay (Niort)
Autre solution de Alain Corre (Moulins).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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