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  APMEP   Exercices "De-ci, de-là" du BV 470

Article du bulletin 470

et solutions du 467-2, 468-2, 468-3

- 19 février 2010 -

Serge PARPAY

Exercices

Exercice 470-1 (Corol’aire no 41)

Démontrer que, pour tout ensemble x, y, z de trois nombres réels quelconques, on a : $|x + y| + |y + z| + |z + x| \leq |x| + |y| + |z| + |x + y + z|$.

À quel moment a-t-on l’égalité ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 470-2 (Raymond Raynaud-Digne)

Étant donné un carré ABCD, quel est le lieu L du point M de son plan tel que les deux cercles ABM et CDM aient le même rayon ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 470-3 (Miguel Amengual Covas-Espagne)

Soient un triangle équilatéral ABC, les points D et E situés respectivement sur les côtés [AC] et [AB] et tels que les segments [AE] et [CD] soient de même longueur. Soient M le milieu du côté BC et P l’intersection de BD et CE. Montrer que les angles $\widehat{APE}$ et $\widehat{BPM}$ sont égaux.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 470-4 (Georges Lion-Wallis)

Soit C (de rayon R) et $\Gamma $ deux cercles de centres O et $\Omega$, orthogonaux en A et B. Une droite menée par O coupe [AB] en P et $\Gamma $ en M et N respectivement intérieur et extérieur à C.

1) Exprimer la longueur OP en fonction de la longueur OM ; si [A’B’] est une corde non diamétrale de C, passant par P, que dire du cercle circonscrit au triangle A’MB’ ? 2) Exprimer le rapport PA/PB en fonction du rapport MA/MB.

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 467-2 (Louis Rivoalan - Rochefort)

La suite de terme général $(cos n)^n $ est -elle convergente ?

La réponse est non. Mais c’est loin d’être évident.

En effet, s’il est facile de montrer que 0 est une valeur d’adhérence, on peut aussi démontrer que 1, et −1, le sont aussi, ce qui montre que cette suite ne converge pas.
Une question qui reste en suspens : est ce que tout nombre de l’intervalle [−1 ; 1] est une valeur d’adhérence pour cette suite ?

Solution de Jean-Christophe Laugier (Rochefort)
Solution de René Manzoni (Le Havre)

Exercice 468-2 (Jacques Bouteloup - Rouen)
On considère un cercle (C), un diamètre [AB], une corde [CD] parallèle à [AB], et un point M de la droite (AB) (et non du segment [AB]) ; (MC) et (MD) recoupent (C) en E et F ; la perpendiculaire en M à (AB) coupe (CD) et (EF) en H et K.
1) Démontrer que M est le milieu de [HK].
2) Démontrer que, lorsque M décrit la droite (AB), la droite (EF) enveloppe une ellipse que l’on précisera.

Solution de Christian Dufis (Limoges)
Solution de Georges Lion (Wallis)
Autres solutions de Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône), Jacques Bouteloup (Rouen), J.-C. Carrega (Lyon), Alain Corre (Moulins), René Manzoni (Le Havre), A. Marcout (Sainte-Savine), Christian Perroud (Habère- Lullin) et Pierre Renfer (Ostwald).

Exercice 468-3 (Raymond Raynaud - Digne)
Deux hauteurs et deux médiatrices pour un losange
Dans un triangle ABC, les hauteurs issues de B et de C et les médiatrices des côtés [AB] et [AC] portent les côtés d’un parallélogramme.
Pour quels triangles ABC ce parallélogramme est-il un losange ?

Solution de Frédéric Pillard (Châteauroux)
Solution d’Alain Corre (Moulins)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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