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  APMEP   Exercices "De-ci, de-là" du BV 472

Article du bulletin 472

et solutions des exercices du BV 469-1, 469-2 et 469-3

- 16 février 2010 -

Exercices

Exercice 472-1. Olympiades suédoises (Supplément au Corol’aire n°18)

Quelle est la circonférence du plus grand cercle que l’on peut tracer dans les carrés noirs d’un échiquier dont les carrés ont 4 cm de côté ?

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Exercice 472-2 Petits exercices pour amateurs (Supplément au Corol’aire n° 23)

- a) Soient quatre points alignés A, B, A’, B’, avec AB < A’B’. Construire le centre d’homothétie transformant [AB] en [A’B’].
- b) Sur une droite, trois points A, B et C, le milieu I de [AB], le milieu J de [AC] et le milieu K de [BC]. Montrer que [CI] et [JK] ont même milieu.

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Exercice 472-3 [1] (Serge Parpay – Niort, Corol’aire n° 61)
On désigne par E(x) la partie entière du nombre fractionnaire x.
- 1) Si x est une fraction irréductible, montrer que x − E(x) l’est aussi.
- 2) Montrer que l’on a :

$E(x) + E (x+ \frac{1}{n}) + \cdots+ E ( x + \frac{n-1}{n}) = E(nx)$

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Exercice 472-4 (Daniel Reisz – Auxerre)
Une unité de longueur étant choisie, on demande de déterminer les dimensions du rectangle ABCD. Le point M étant le milieu de [CD], on sait que les rayons des cercles inscrits aux triangles ABM et ADM mesurent respectivement 4 et 3.

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 469-1 (Louis Rivoallan (La Rochelle) – Corol’aire no 59

On considère les nombres à n chiffres (en base dix) tels que leur carré se termine par les mêmes n chiffres. On accepte que contrairement à l’usage, les chiffres « de gauche » soient égaux à 0. Il y a à l’évidence deux nombres qui répondent à la question : 0 et 1, que l’on fait précéder de (n-1) zéros avec la convention précédente. Montrer, que pour tout n, il y a exactement 2 autres nombres écrits avec n chiffres qui répondent à cette condition.
L’idée est venue d’un collègue de l’IUFM de La Rochelle qui a cherché à généraliser un exercice posé au concours de recrutement des professeurs des écoles.

Solution de Christian Dufis (Limoges)
Autres solutions : Christine Fenoglio (Lyon), René Manzoni (Le Havre) et Alain Corre (Moulins).

Exercice 469-2 (Jean Raynier – Marseille), relayé par Henri Bareil

On donne un triangle isocèle ABC (AB = AC) tel que $\widehat {BAC}= 20$°

Sur [AC] on prend le point E tel que $\widehat {EBC}= 60$°

Sur [AB] on prend le point D tel que $\widehat {DCB}= 50$°

Que valent, en degrés, les angles $\widehat {EDC}$ et $\widehat {DEB}$ ?

Le texte de ce problème qui a intrigué notre collègue Jean Raynier figure dans le livre « Géométrie classique et mathématiques modernes » de Brigitte Sénéchal aux éditions Hermann (1976).

Solution de Jean Lefort – Wintzenheim et de Bruno Alaplantive – St Jean du Falga
Jean Lefort a ajouté le commentaire suivant : J’ai hésité à ajouter un commentaire permettant de savoir comment on peut imaginer une telle solution qui ne demande que des connaissances de collège. L’idée c’est d’abord de faire une figure précise et de mesurer les angles. On se doute alors de leurs valeurs rondes et l’apparition d’un angle de 30° peut faire penser à mettre en place un triangle équilatéral. Mais c’est loin d’être évident pour un collégien ! Personnellement j’avais vu ce problème il y a une vingtaine d’année et je me souvenais de l’astuce.
La solution de Bruno Alaplantive utilise uniquement des « outils » de Troisième.
Autres solutions qui font appel à la trigonométrie : Henri Bareil (Toulouse), Alain Corre (Moulins), Christian Dufis (Limoges), Christine Fenoglio (Lyon), René Manzoni (Le Havre), A. Marcout (Sainte-Savine), Christian Perroud (Habère- Lullin), Raymond Raynaud (Digne).
Signalons aussi une solution que Monique Maze (Clermont-Ferrand) propose dans le livre du professeur du manuel Transmath de 5ème.

Exercice 469-3 (Laurent Rouzière - Albi)

J’ai eu une question l’an passé en classe de seconde à propos de la construction de « l’escargot de Pythagore », voir figure jointe. Les longueurs AB, BC, CD, DE,... valent 1.

La question posée par un élève était la suivante :

"Est-ce que, si on continue la construction, on peut trouver un point aligné avec A et B ? »

Solution de Fabrice Laurent (Provins) et de Pierre Renfer (Ostwald)
Autre solution : René Manzoni (Le Havre).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Extrait du livre « Arithmétique, classe de mathématiques », Maillard et Millet (Hachette 1960).


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