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  APMEP   Exercices "De-ci, de-là" du BV 473

Article du bulletin 473

et solutions du 470-1, 470-2, 470-3, 470-4

- 9 février 2010 -

Exercices

Exercice 473-1 (Michel-Hébraud - Toulouse)

Au sujet de l’exercice 469-2 (Bulletin n° 472, page 776), Michel Hébraud propose : «  Pour aiguiser la curiosité, compléter la figure en définissant l’intersection des droites (DE) et (BC) en V. Le quadrangle ainsi défini a des propriétés intéressantes. Mais il y a bien d’autres pistes… ».

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 473-2 (Denis Page - Bourg-en Bresse)

Déterminer les extremums de cos a + cos b + cos c, sin a + sin b + sin c et $\mid e^{ia} + e^{ib} + e^{ic}\mid $ quand a, b et c sont les angles d’un triangle.

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Exercice 473-3 (Raymond Raynaud - Digne)

Soit deux triangles du plan ABC et A’B’C’.
Si les perpendiculaires menées des points A, B, C respectivement sur les droites (B’C’), (C’A’) et (A’B’) sont concourantes, en est-il de même des perpendiculaires menées respectivement des points A’, B’, C’ sur les droites (BC), (CA) et (AB) ?

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Exercice 473-4 (Michel Lafond - Dijon)

Dans le plan, un triangle ABC a une aire de 1344 $m^{2}.$ Un point P du plan vérifie PA = 25 m, PB = 33 et PC = 39 m. Calculer les côtés de ABC.

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Solutions

Exercice 470-1 (Corol’aire no 41)

Démontrer que, pour tout ensemble x, y, z de trois nombres réels quelconques, on a : $|x + y| + |y + z| + |z + x| \leq |x| + |y| + |z| + |x + y + z|$.

À quel moment a-t-on l’égalité ?

Solution de Nicolas Pin (Saintes) suivie par celle de Georges Lion (Wallis)

Autres solutions : Olivier Ayassou (Cayenne), Robert Bourdon (Tourgeville), Jean-Claude Carrega (Lyon), Alain Corre (Moulin), René Manzoni (Le Havre), Raymond Raynaud (Dijon), Pierre Samuel (Hossegor).

Michel Lafond (Dijon) complète par l’inégalité : $$|a+b| + |a+c| + |a+d| +|b+c| +|b+d| +|c+d| \le |a| +|b| +|c| +|d| +|a+b+c| +|a+b+d| +|a+c+d| +|b+c+d| +|a+b+c+d|$$
Pierre Renfer (Ostwald) étend l’inégalité à tout triplet de nombres complexes avec les modules,
Georges Vidiani (Dijon) précise que vous obtiendrez des renseignements plus complets en demandant « Hlawka inequality » sur votre moteur de recherche préféré.

Exercice 470-2 (Raymond Raynaud-Digne)

Étant donné un carré ABCD, quel est le lieu L du point M de son plan tel que les deux cercles ABM et CDM aient le même rayon ?

Solution de Pierre Samuel (Hossegor) et de Jean-Claude Carrega (Lyon)

Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville), Alain Corre (Moulin), René Manzoni (Le Havre), Albert Marcout (Sainte-Savine), Christian Perroud (Habère-Lullin), Raymond Raynaud (Dijon), Pierre Renfer (Ostwald).
Marc Roux (Nîmes) propose un prolongement : Étant donné un rectangle ABCD, quel est le lieu L du point M de son plan tel que les deux cercles ABM et CDM aient le même rayon ? Il encourage à l’exploration du problème avec Géogébra.

Exercice 470-3 (Miguel Amengual Covas-Espagne)

Soient un triangle équilatéral ABC, les points D et E situés respectivement sur les côtés [AC] et [AB] et tels que les segments [AE] et [CD] soient de même longueur. Soient M le milieu du côté BC et P l’intersection de BD et CE. Montrer que les angles $\widehatAPE$ et $\widehatBPM$ sont égaux.

Solution de Raymond Raynaud (Digne) et d’Isabelle Lallier-Girot (Créteil)

Exercice 470-4 (Georges Lion-Wallis)

Soit C (de rayon R) et $\Gamma $ deux cercles de centres O et $\Omega$, orthogonaux en A et B. Une droite menée par O coupe [AB] en P et $\Gamma $ en M et N respectivement intérieur et extérieur à C.

1) Exprimer la longueur OP en fonction de la longueur OM ; si [A’B’] est une corde non diamétrale de C, passant par P, que dire du cercle circonscrit au triangle A’MB’ ? 2) Exprimer le rapport PA/PB en fonction du rapport MA/MB.

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville)

Autres solutions : Jean-Claude Carrega (Lyon), Alain Corre (Moulin), René Manzoni (Le Havre), Albert Marcout (Sainte-Savine), Christian Perroud (Habère- Lullin), Raymond Raynaud (Digne), Pierre Renfer (Ostwald).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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