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  APMEP   Exercices de-ci, de-là du BV 494

Article du bulletin 494

et solutions des 492-1, 492-2, 492-3, 492-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 494-1 (Daniel Riesz - Auxerre) A proposer à nos élèves de collège
Un rectangle ABCD a pour largeur AB = 4 et contient trois cercles tangents entre eux et aux cotés du rectangle comme indiqué sur la figure ci-contre. Quelle est sa longueur ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 494-2 (Ali Akir – Tunis)
Trouver le terme général de la suite u dans chacun des cas suivants :
a) $p \in \mathbb N$ ; u est définie sur $\mathbb N$ par $\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_0& \in \mathbb R&\\ u_{n+1}&=u_n+p \cdot E(u_n)&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$
où $E(u_n)$ désigne la partie entière de $u_n$ ;

b) u est définie sur $\mathbb N$ par $\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_0&=2&\\ u_{n+1}&=u_n+2-cos(\pi u_n)&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$

c) p et q sont des entiers naturels ;
u est définie sur $\mathbb N$ par $u_0 \in \mathbb N$ et pour tout $n \in \mathbb N$

$$ u_{n+1}=\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} p+u_n&, \text{ si } u_n \text{ est pair}&\\ q+u_n&, \text{ si } u_n \text{ est impair}&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$$

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 494-3 Arithmétique (d’après les olympiades mathématiques de l’union Soviétique 1962)
x, y et z désignent des entiers tous distincts.
Montrer que $(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ est divisible par $5 (x - y) (y - z) (z - x)$.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 494-4 Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) (d’après august Ferdinand Möbius)
Soient A, B, C trois points consécutifs d’une parabole (P). Les tangentes à la parabole en A et C se coupent en D, celles en A et B se coupent en E, celles en B et C se coupent en F.
En notant KLM l’aire du triangle de sommets K, L, M et (KL) l’aire du segment de parabole limité par (P) et le segment de droite [KL], démontrer les trois relations :
a) $\sqrt[3]{ADC}=\sqrt[3]{AEB}+\sqrt[3]{BFC}$
b) $\sqrt[3]{AC}=\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{BC}$
c) $ABC=3\cdot \sqrt[3]{AB} \cdot \sqrt[3]{BC}\cdot \sqrt[3]{CA}$

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 492-1 Guerre froide [1] (d’après les olympiades mathématiques de l’Union Soviétique 1965)

Un avion espion vole à la vitesse de 1000 km/h en décrivant un cercle de centre O et de rayon 10 km. On tire un missile depuis O. Il va à la même vitesse que l’avion et sa trajectoire est telle qu’il reste toujours aligné entre O et l’avion.
Au bout de combien de temps atteint-il l’avion ?

Solution de Fabrice Laurent (Provins)
Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean Gounon (Chardonnay), Odile Simon (La Prénessaye).

Pierre Renfer propose la même solution en se plaçant dans le plan complexe, alors que les solutions de Jean Gounon et de Odile Simon passent toutes les deux par une équation différentielle du premier ordre dont la solution est une fonction en arcsinus.
Autre solution :
Voici maintenant la solution proposée par les organisateurs de cette olympiade qui était destinée à des élèves de Première (d’après N.B. Vasilyev et A.A. Yegorov, dans une édition et traduction de Anton Cherney et Andy Liu de l’université d’Edmonton, Canada)

Nota. On peut d’ailleurs affirmer que c’est bien la trajectoire du missile : en reprenant les notations de Fabrice Laurent on a r(t) = R sin($\omega$ t) et $\theta (t) =\omega$t ; d’où r= R sin($\theta$) qui est l’équation polaire d’un cercle.
La découverte de cette trajectoire peut se faire à l’aide du logiciel Geogebra. Deux fichiers sont disponibles sur le site, dans les suppléments en ligne au BV.

Exercice 492-2 Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé (issu du cours de navigation des Glénans)
Une voile aurique est assimilée à une plaque homogène ayant la forme indiquée. La construction du centre d’inertie d’une telle voile est indiquée ci-dessous et codée sur la figure.
La question, bien sûr, est de savoir si cette construction est exacte ou approximative.

Comment déterminer le centre d’une voile ABCD ?

- Tracer une diagonale, ici BD.
- Placer le point M au milieu de BD.
- Placer I au tiers de MA, J au tiers de MC.
- Tracer IJ.
- N est l’intersection de IJ et BD.
- Le centre de voilure est le point V tel que IV = NJ.

Solution de Jean-Claude Emeillat (Guipavas)
Autres solutions : Jean-Yves LeCadre (Saint Avé), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Lafond (Dijon).

Nota. Le diaporama d’une démonstration assez proche est disponible sur le site, dans les suppléments en ligne au BV.

Exercice 492-3 Probabilités
On choisit au hasard un point M à l’intérieur d’un triangle équilatéral et on construit ses projetés orthogonaux sur les côtés.

  1. Quelle est la probabilité que les trois longueurs obtenues puissent être celles d’un triangle ?
  2. Pour effectuer une simulation sur ordinateur, on se place dans un repère orthonormal dans lequel les coordonnées sont B (0 ;0), C (2 ;0) et A(1 ;$\sqrt 3$). Le choix du point intérieur est alors effectué de la manière suivante : abscisse quelconque choisie entre 0 et 2 ; ordonnée choisie quelconque mais de façon à demeurer dans le triangle.
    Voici ci-dessous les formules qui ont été écrites dans les cases A2 à F2.
    Cette modélisation n’est pas correcte et conduit en dix fois 10 000 essais sur tableur, à une moyenne d’environ 0,153 …
    $\rightarrow$ Calculer la valeur théorique correspondant à cette simulation.

Solution de Michel Lafond (Dijon)
Autre solution : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques).
Nota. Le passage du discret au continu, suggéré par les dessins suivants, me semble assez éclairant.

Exercice 492-4 Chute d’échelle
Une échelle de 5 m de long est en train de tomber par terre. Le haut glisse le long du mur vertical, le bas sur le sol horizontal. Si le pied glisse à la vitesse régulière de 18 cm/s, quelle est la vitesse du sommet de l’échelle quand celui-ci est à 3 m du sol ?

Solution de Jean Gounon (Chardonnay)
Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Fabrice Laurent (Provins).
Remarque. Fabrice Laurent utilise le fait que la vitesse angulaire du bas et du sommet de l’échelle est la même par rapport au centre instantané de rotation. Le problème se ramène alors au simple calcul d’une quatrième proportionnelle !

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] (1) Ah… ; ils savaient habiller les problèmes en ce temps-là !


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