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Article du bulletin 495

et solutions des 493-1, 493-2, 493-3, 493-4

Bruno Alaplantive

- 3 janvier 2015 -

Exercices

Exercice 495-1 (Jean Gounon – Chardonnay)

ABC est un triangle non aplati. Déterminer l’ensemble (E) des points M du plan du triangle tels que les aires des triangles MAB, MBC et MCA soient égales.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 495-2 (Raphaël Sinteff – Nancy) d’après le sujet de TP Bac S n°30, juin 2008

Etudier la suite $(u_n)_{n \ge 1}$ définie par $u_{n+1}=\frac{u_n}{n}+1$ et $u_1$ réel.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 495-3 pioché de-ci, de-là …

Etudier (rapports de longueurs, rapports d’aires) cette figure dans laquelle les angles qui semblent être droits, le sont vraiment.

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 495-4 (XVIIIe olympiades mathématiques d’Italie (Mai 2002)

Prouver que si $5^n + 3^n + 1$ est premier, alors 12 divise n.

Voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 493-1 (Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé)
Voici un trièdre trirectangle composé de trois miroirs.
Un rayon lumineux se réfléchit sur les trois faces successivement.
Que dire du dernier rayon réfléchi ?

Solution de Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé)
Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Autre solution : Michel Sarrouy (Mende).

Remarque. Michel Sarrouy note que ce problème est celui des catadioptres qu’on trouve sur tous les véhicules, dispositifs qui réfléchissent la lumière dans la direction des rayons incidents.
La vision « plus iodée » de Jean-Yves Le Cadre va au réflecteur radar que l’on trouve sur les haubans des voiliers de croisière ; petite pièce métallique placée en haut du mât, dont le modèle serait huit trièdres accolés. Il a pour objet de réfléchir un champ de rayons en direction de celui qui l’émet (bateau ou avion) et de permettre la détection et la localisation du voilier.
L’auteur note également que les sondes météo portent, sous le ballon, un dispositif analogue en feuilles d’aluminium, ce qui permet de les localiser dans l’atmosphère (longitude, latitude, azimut). Eu égard à la vitesse toute relative des mobiles en jeu par rapport à celle de la lumière, on peut les considérer comme immobiles, ce qui valide le modèle utilisé.

Exercice 493-2 (Raphaël Sinteff – Nancy)
Soit la suite $(u_n)$ d’entiers naturels définie par $u_0 \in \mathbb N*$, pour tout n entier naturel non nul, et $u_{n+1}= \left\{ \begin{array}{l} \frac{u_n}{2} \text{ si $u_n$ est pair} \\ u_n+3 \text{ si $u_n$ est impair} \end{array} \right.$

Montrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n ≥ n_0 \ \ u_{n+3}= u_n \text{ ou } u_{n+2}= u_n$.

Solution de Raymond Heitz (Lavergne)
Autres solutions : Raphaël Sinteff (Nancy), Robert Bourdon (Tourgeville), Jean- Claude Carréga (Lyon), Jean Gounon (Chardonnay).

Exercice 493-3 (pioché de-ci, de-là…)
Dans le triangle ABC ci-contre, D est un point du segment [AC]. On a de plus : AD = BC ; BD = DC ; $\widehat{DBC}=2x$ et $\widehat{DAC}=3x$
On demande la valeur de x.

Solution de Fabrice Laurent (Provins)
Solution de Bruno Alaplantive (Calgary)

Autres solutions : Guy Brusco (La Garde), Jean-Claude Carréga (Lyon), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Sarrouy (Mende), Robert Bourdon (Tourgeville), Raymond Heitz (Lavergne), Albert Marcout (Sainte Savine).

Remarque. Comme celle de Fabrice Laurent, toutes ces autres solutions relèvent de l’utilisation initiale du théorème des sinus.
La manipulation adroite de formules trigonométriques (dont la relation 2 cos a sin b= sin(a + b) + sin(a - b)) permet à Raymond Heitz de transformer assez rapidement l’équation initiale en 2 sin x cos (6x) = sin x, et de conclure.
Pour élémentaire qu’elle soit, la solution que je propose pour ma part, a le défaut principal de « sortir » de nulle part… !

Nota. Cet exercice est issu de l’excellent site Geometry Step by Step from the Land of the Incas : www.agutie.homestead.com/ qui en regorge littéralement et sur lequel je vous invite à aller vagabonder et rêver… !

Exercice 493-4 (Georges Lion – Wallis)
Une droite D étant donnée ainsi que deux points distincts A et B hors de D.
Déterminer les points de D en lesquels la fonction définie par $M \rightarrow \frac{MA}{MB}$ atteint ses extrema (lorsque ces atteintes ont lieu).

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville)
Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques)

Autre solution : Georges Lion (Wallis), Albert Marcout (Sainte Savine).

Nota. Un fichier Geogebra illustrant la solution de Robert Bourdon est disponible sur le site de l’APMEP.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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