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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 492

Article du bulletin 492

et solutions des 489-1, 489-2 et 489-3

Exercices

Exercice 492-1 Guerre froide [1] (d’après les olympiades mathématiques de l’Union Soviétique 1965)

Un avion espion vole à la vitesse de 1000 km/h en décrivant un cercle de centre O et de rayon 10 km. On tire un missile depuis O. Il va à la même vitesse que l’avion et sa trajectoire est telle qu’il reste toujours aligné entre O et l’avion.
Au bout de combien de temps atteint-il l’avion ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 492-2 Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé (issu du cours de navigation des Glénans)
Une voile aurique est assimilée à une plaque homogène ayant la forme indiquée. La construction du centre d’inertie d’une telle voile est indiquée ci-dessous et codée sur la figure.
La question, bien sûr, est de savoir si cette construction est exacte ou approximative.

Comment déterminer le centre d’une voile ABCD ?

- Tracer une diagonale, ici BD.
- Placer le point M au milieu de BD.
- Placer I au tiers de MA, J au tiers de MC.
- Tracer IJ.
- N est l’intersection de IJ et BD.
- Le centre de voilure est le point V tel que IV = NJ.
voir l’article où est publiée la solution
complément de la solution du problème 492-1
diaporama en complément de la solution du problème 492-1


Exercice 492-3 Probabilités
On choisit au hasard un point M à l’intérieur d’un triangle équilatéral et on construit ses projetés orthogonaux sur les côtés.

  1. Quelle est la probabilité que les trois longueurs obtenues puissent être celles d’un triangle ?
  2. Pour effectuer une simulation sur ordinateur, on se place dans un repère orthonormal dans lequel les coordonnées sont B (0 ;0), C (2 ;0) et A(1 ;$\sqrt 3$). Le choix du point intérieur est alors effectué de la manière suivante : abscisse quelconque choisie entre 0 et 2 ; ordonnée choisie quelconque mais de façon à demeurer dans le triangle.
    Voici ci-dessous les formules qui ont été écrites dans les cases A2 à F2.
    Cette modélisation n’est pas correcte et conduit en dix fois 10 000 essais sur tableur, à une moyenne d’environ 0,153 …
    $\rightarrow$ Calculer la valeur théorique correspondant à cette simulation.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 492-4 Chute d’échelle
Une échelle de 5 m de long est en train de tomber par terre. Le haut glisse le long du mur vertical, le bas sur le sol horizontal. Si le pied glisse à la vitesse régulière de 18 cm/s, quelle est la vitesse du sommet de l’échelle quand celui-ci est à 3 m du sol ?

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 489-1 : (d’après les olympiades mathématiques d’Israël 1995)

Quatre points non coplanaires étant donnés, on appelle « équiplan » tout plan équidistant de chacun de ces quatre points. Combien y a-t-il d’équiplans ?

Solution de George Lion (Wallis)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Bernard Collignon (Coursan), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé).

Nota. Bernard Collignon remarque que l’on peut s’intéresser au même problème en dimension 1 (droite) et 2 (plan).

  • en dimension n = 1 : on se place sur une droite et on considère deux points distincts. L’ensemble des points situés à égale distance de deux points distincts A et B de la droite est l’unique point I milieu de [AB].
  • en dimension n = 2 : on se place dans le plan et on considère trois points non alignés.

L’ensemble des droites « équidistantes » de trois points A, B, C non alignés est constitué des N = 3 droites (IJ), (IK) et (JK) où I, J et K sont les milieux respectifs des segments [AB], [AC] et [BC].

Exercice 489-2 : Une suite de carrés (d’après la compétition mathématique de Slovénie 1998)

Prouver que chaque nombre de la suite 49 ; 4 489 ; 444 889 ; 44 448 889 ; … est un carré parfait (dans chaque nombre, il y a n quatre, n − 1 huit et un neuf).

Solution de Guy Brusco (La Garde)

Autres solutions : Jean Gounon (Chardonnay), Robert Bourdon (Tourgeville), Jean-Claude Carréga (Lyon), Alain Corre (Moulins), Michel Sarrouy (Mende), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Bernard Collignon (Coursan), Jacques Chayé (Poitiers), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé).

Nota.
Avec leur solution, Robert Bourdon et Michel Sarrouy proposent chacun une sorte de narration de recherche : compléments instructifs que vous pourrez trouver sur le site, dans les suppléments en ligne au BV.

Exercice 489-3 (Gabriel Lamé–Paris)

ABCD est un quadrilatère non croisé inscriptible dans un cercle dont les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA] mesurent respectivement 2 cm, 3 cm, 4 cm et 5 cm. Proposer une construction de ABCD.

Solution de Pierre Lapôtre (Calais)  : avec le théorème d’Al-Kashi

Solution de Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé) : avec une similitude

Solution de Éric Oswald (Borgo) : avec une inversion

Solution de Gabriel Lamé (Paris) : configuration

Autres Solutions : Alain Corre (Moulins), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Georges Lion (Wallis), Bernard Collignon (Coursan).

Exercice 489-4 :Complexe (d’après les XXXIIIes olympiades espagnoles)

Montrer que tout nombre complexe non nul peut s’exprimer comme somme de deux nombres complexes dont la différence et le quotient sont des imaginaires purs.

Solution de Alain Corre (Moulins)

Autres solutions : Jean Gounon (Chardonnay), Jean-Claude Carréga (Lyon), Alain Corre (Moulins), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jacques Chayé (Poitiers), Georges Lion (Wallis), Jean-Yves Le Cadre (Saint Avé), Pierre Lapôtre (Calais).

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] (1) Ah… ; ils savaient habiller les problèmes en ce temps-là !


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