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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 451

Article du bulletin 451

Exercices

Exercice 451-1 (Transmis par Daniel Reisz).
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ et $r$ le rayon du cercle centré sur l’hypoténuse et tangent aux deux côtés de l’angle droit. Comparer $\dfrac{1}{r}$ et $\dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$.
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Exercice 451-2 (Géométrie théorique et pratique. Eysseric et Pascal, Delagrave 1874 – Enseignement secondaire spécial et baccalauréat ès sciences –).
Diviser un trapèze en deux parties équivalentes par une parallèle aux bases.
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Exercice 451-3 (Leçons de géométrie. Jacques Hadamard – Armand Colin 1901).
Tout plan mené par les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre divise ce solide en deux parties équivalentes.
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Exercice 451-4 (Olympiades)
Dans une boîte cubique, d’arête unité, sont enfermées 2 001 mouches. Montrer qu’il existe à tout moment une boule sphérique de rayon $\dfrac{1}{11}$où se trouvent trois mouches au moins.
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Exercice 451-5 Pour matheux superstitieux. (Jean Christophe Laugier, Rochefort)
Dans une année civile, combien y a-t-il de vendredi 13 au plus ? Combien y en a-t-il au moins ? Combien en moyenne ? (on supposera pour simplifier que toutes les années dont le millésime est divisible par 4 sont bissextiles).
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Exercice 451-6 (Maillard et Millet. Classe de mathématiques)
On considère deux nombres entiers (positifs) $a$ et $b$ tels que $a^2 + 2b$ soit un carré parfait.
Mettre $a^2 + b $ sous la forme d’une somme de carrés d’entiers.
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Exercice 451-7 (Jacques Drouglazet. Surgères)
$a$ désignant un nombre réel ou complexe non nul donné, on considère la suite numérique $(u_n)$ définie par $u_0=1$ , $u_1 = 1$ et $u_{n+2}= u_{n+1} +u_n + a . u_n . u_{n+1}$ pour tout $n$ entier naturel.

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En particulier, pour $a = - \dfrac{1}{2}$, quelle est la limite de $u_n$ quand n augmente indéfiniment ?
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Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne comporte que des 1.
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Remarque sur les problèmes et exercices de l’APMEP

En réponse à diverses demandes, la Commission du Bulletin engage, avec l’aval de notre Président, une partition de la rubrique « Problèmes » :

– toujours avec le même intitulé « Problèmes de l’APMEP » et le même responsable, François LO JACOMO, la rubrique traditionnelle se poursuivra, mais selon de nouvelles modalités explicitées en son en tête.

– une rubrique nouvelle voit le jour dès ce numéro.
Intitulée « Exercices de ci, de là » – allusion à son mode de collecte d’énoncés –, elle est confiée à Serge PARPAY et son équipe de Poitevins (ouverte à tout autre collègue !), d’où sa signature : « Le groupe du CLAIN » [1]
Elle devrait comporter des énoncés plus modestes, donc proposables aussi à nos élèves. Réagissez pour nous dire si ce but est suffisamment atteint ! D’avance merci !

Nous remercions chaleureusement François LO JACOMO et Serge PARPAY avec son équipe pour leur amical investissement dans ces deux nouvelles démarches.

Henri BAREIL et Christiane ZEHREN.

Exercices de ci, de là

Ne vous attendez pas à des exercices sophistiqués et très techniques. Partisans de l’humour, nous ne voulons pas nous prendre trop au sérieux (plus près de Pierre Dac que d’Emmanuel Kant).
À l’image de notre page « Rubricol(l)age » de « CORO’LAIRE » (publication de la Régionale APMEP de Poitou-Charentes) nous répercuterons une idée simple, un passage intrigant d’un article savant qui nous pose question, un exercice curieux rencontré dans un livre (souvent ancien), un problème proposé par un collègue… Des solutions seront publiées, mais sans développement excessif : nous ne voulons pas faire trop de « mathtraitance »…. Nous accepterons évidemment avec plaisir des envois d’exercices et de solutions – dans la limite du raisonnable –.

Le groupe du CLAIN [2]

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)

[1] « LE CLAIN », par référence à une publication, appréciée, de l’IREM de Poitiers lors des années 70 (le Clain est une rivière qui arrose Poitiers) et en clin d’œil, aussi, au grand Félix KLEIN.

[2] AMPEP (Groupe du CLAIN) IREM, Faculté des Sciences 40 avenue du Recteur Pineau 86022 POITIERS Cedex.


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