Exercices

Exercice 455-1
Un exercice d’entraînement du Rallye Mathématique POITOU-CHARENTES 92

Le réseau ci-contre est formé de barres de longueurs 1 reliées entre elles seulement par leurs sommets. Pour rendre une maille rigide et carrée, il suffit de relier deux sommets opposés de cette maille par une barre de longueur \(\sqrt{2}\).
Combien faut-il au minimum de telles barres pour rendre rigide le réseau ci-contre ?
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Exercice 455-2
Proposé par Jacques Chayé, de Poitiers
Soit ABC un triangle quelconque. Soient A ′ , B ′ et C ′ les pieds des hauteurs respectivement sur (BC), (CA) et (AB) ; soit I, J et K les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB] ; soit U, V et W les milieux respectifs de [AA ′], [BB ′] et [CC ′]. Démontrer que les droites (IU), (JV) et (KW) passent par un même point.
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Exercice 455-3
Proposé par Frédéric de Ligt, de Montguyon
Une grille de loto est constituée de cases numérotées de 1 à 14. On remplit une grille en cochant 3 cases. Combien faut-il remplir de grilles pour être certain de trouver au moins 2 des 3 numéros qui vont sortir ?

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Exercice 455-4
Problème de dénombrement
le problème ci-dessous a été proposé aux participants d’un rallye lors du Salon des Jeux Mathématiques 2001 organisé à Paris par le C.I.J.M. (1 - 4 juin).
Le cube était présenté sur une table ; il est constitué de 125 petits cubes blancs ou noirs. Chaque carré noir vu sur la face avant (respectivement latérale), (respectivement supérieure) est la base d’un parallélépipède formé par 5 petits cubes noirs (le grand cube est donc traversé par des barres de 5 petits cubes noirs).
Combien y a-t-il de cubes blancs ?
Si l’on enlève une couche de cubes sur chaque face du grand cube, combien reste-t-il de petits cubes blancs ?
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Solutions

Exercice 451-3
Tout plan mené par les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre divise ce solide en deux parties équivalentes (même volume).
(Leçons de géométrie. Jacques Hadamard - Armand Colin 1901).
Solution de Louis Rivoalan (Rochefort)
Solution de Serge Parpay (Niort)

Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne comporte que des 1.
Solution de Pierre Chevrier (Niort)
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Remarque
Il manque actuellement une solution pour les exercices 455-1,3,4.