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  APMEP   Exercices de ci de là du BV 455

Article du bulletin 455

et solutions du 451-3, 451-8

Exercices

Exercice 455-1
Un exercice d’entraînement du Rallye Mathématique POITOU- CHARENTES 92
Le réseau ci-contre est formé de barres de longueurs 1 reliées entre elles seulement par leurs sommets. Pour rendre une maille rigide et carrée, il suffit de relier deux sommets opposés de cette maille par une barre de longueur $\sqrt{2}$ .
Combien faut-il au minimum de telles barres pour rendre rigide le réseau ci-contre ?
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 455-2
Proposé par Jacques Chayé, de Poitiers
Soit ABC un triangle quelconque. Soient A ′ , B ′ et C ′ les pieds des hauteurs respectivement sur (BC), (CA) et (AB) ; soit I, J et K les milieux respectifs de [BC], [CA] et [AB] ; soit U, V et W les milieux respectifs de [AA ′ ], [BB ′ ] et [CC ′ ]. Démontrer que les droites (IU), (JV) et (KW) passent par un même point.
voir l’article où est publiée une solution

Exercice 455-3
Proposé par Frédéric de Ligt, de Montguyon
Une grille de loto est constituée de cases numérotées de 1 à 14. On remplit une grille en cochant 3 cases. Combien faut-il remplir de grilles pour être certain de trouver au moins 2 des 3 numéros qui vont sortir ?
voir l’article où est publiée une solution



Exercice 455-4
Problème de dénombrement
le problème ci-dessous a été proposé aux participants d’un rallye lors du Salon des Jeux Mathématiques 2001 organisé à Paris par le C.I.J.M. (1 - 4 juin).
Le cube était présenté sur une table ; il est constitué de 125 petits cubes blancs ou noirs. Chaque carré noir vu sur la face avant (respectivement latérale), (respectivement supérieure) est la base d’un parallélépipède formé par 5 petits cubes noirs (le grand cube est donc traversé par des barres de 5 petits cubes noirs).
Combien y a-t-il de cubes blancs ?
Si l’on enlève une couche de cubes sur chaque face du grand cube, combien reste-t-il de petits cubes blancs ?
voir l’article où est publiée une solution

Solutions

Exercice 451-3
Tout plan mené par les milieux de deux arêtes opposées d’un tétraèdre divise ce solide en deux parties équivalentes (même volume).
(Leçons de géométrie. Jacques Hadamard - Armand Colin 1901).

Solution de Louis Rivoalan (Rochefort)
Solution de Serge Parpay (Niort)

Exercice 451-8
Montrer que tout entier impair non divisible par 5 a un multiple dont l’écriture ne comporte que des 1.
Solution de Pierre Chevrier (Niort)
voir l’article où est publiée une autre solution

Remarque
Il manque actuellement une solution pour les exercices 455-1,3,4.

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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