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  APMEP   Exercices "de-ci, de-là" du BV 474

Article du bulletin 474

et solutions du 472-1, 472-2, 472-3, 472-4, 473-1, 473-2

- 3 février 2010 -

Exercices

Exercice 474-1 (Raymond Raynaud - Digne)
Étant donné un triangle équilatéral ABC de hauteur h, on désigne par f(M) la somme des distances d’un point M du plan aux droites (AB), (BC) et (CA).
Quel est le lieu des points M tels que f(M) soit égale à une longueur donnée l ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 474-2 (Georges Lion - Wallis)
Dans son intéressant article (Bulletin Vert n° 470), Éric Barbazo cite l’étude de la fonction $(x+\frac{1}{x})\sqrt{\frac{1}{x}}$ proposée en première partie du baccalauréat en 1911 à Lille, comme l’un des premiers exemples d’application du calcul des dérivées en conformité avec les programmes de 1902.
Comment au contraire trouver le minimum de ladite fonction sans avoir recours aux dérivées ?

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Exercice 474-3 (Alain Corre - Moulin)
La configuration de l’exercice 470-3 lui a rappelé l’exercice suivant :
Étant donné un triangle ABC, on place les points D, E et F respectivement sur les segments [BC], [CA] et [AB]. Les droites (AD), (BE) et (CF) se coupent en P, Q et R.
En notant x, y et z les rapports BD/BC, CE/CA et AF/AB, déterminer l’aire du triangle PQR en fonction de celle de ABC, de x, y et z.

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Exercice 474-4 (Serge Parpay - Niort )
Petits exercices pour amateurs :
- a) Trouver un entier de quatre chiffres, carré parfait, sachant que l’entier que l’on obtient en augmentant chacun des chiffres d’une unité est encore un carré parfait.
- b) Trouver un entier de quatre chiffres, carré parfait, sachant que les deux chiffres de gauche sont égaux et que les deux chiffres de droite sont égaux.
Arithmétique – Maillard et Millet – Terminale C 1954

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 472-1 Olympiades suédoises (Supplément au Corol’aire n° 18)
Quelle est la circonférence du plus grand cercle que l’on peut tracer dans les carrés noirs d’un échiquier dont les carrés ont 4 cm de côté ?

Solution de Raymond Raynaud (Dignes)
Autre solution : René Manzoni (Le Havre).

Exercice 472-2 Petits exercices pour amateurs (Supplément au Corol’aire n° 23)

- a) Soient quatre points alignés A, B, A’, B’, avec AB < A’B’. Construire le centre d’homothétie transformant [AB] en [A’B’].
- b) Sur une droite, trois points A, B et C, le milieu I de [AB], le milieu J de [AC] et le milieu K de [BC]. Montrer que [CI] et [JK] ont même milieu.

Solution de Jean-Yves Le Cadre (Saint-Avé), analytique de Raymond Raynaud (Dignes) et géométrique de René Manzoni (Le Havre)

Exercice 472-3 [1] (Serge Parpay – Niort, Corol’aire n° 61)
On désigne par E(x) la partie entière du nombre fractionnaire x.
- 1) Si x est une fraction irréductible, montrer que x − E(x) l’est aussi.
- 2) Montrer que l’on a :

$E(x) + E (x+ \frac{1}{n}) + \cdots+ E ( x + \frac{n-1}{n}) = E(nx)$

Solution de Jean-Claude Carréga (Lyon)
Autres solutions (reprenant la même méthode) : Olivier Ayanou (Cayenne), Robert Bourdon (Tourgeville), Marie-Louise Chaillout (Épinay sur Orge), Christian Dufis (Limoges), Jean-Yves Le Cadre (Saint-Avé), René Manzoni (Le Havre), Éric Oswald (Borgo), Christian Perroud (Habère-Lullin), André Stoll (Strasbourg).

Exercice 472-4 (Daniel Reisz – Auxerre)
Une unité de longueur étant choisie, on demande de déterminer les dimensions du rectangle ABCD. Le point M étant le milieu de [CD], on sait que les rayons des cercles inscrits aux triangles ABM et ADM mesurent respectivement 4 et 3.

Solution d’Éric Oswald (Borgo) et de Raymond Raynaud (Digne)

Un rappel de propriété par Serge Fabbian (Metz)
Soit ABC un triangle rectangle en A. O est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
K est la projection orthogonale de O sur l’hypoténuse. Montrer que

$$Aire (ABC) = KB \times KC$$

Autres solutions : Serge Fabbian (Metz), Jean-Yves Le Cadre (Saint-Avé), Georges Lion (Wallis), René Manzoni (Le Havre), Éric Oswald (Borgo). Solutions trigonométriques : Robert Bourdon (Tourgeville), Jean-Claude Carrega (Lyon), Christian Dufis (Limoges), Fabien Laurent (Provins), André Stoll (Strasbourg).

Exercice 473-1 (Michel-Hébraud - Toulouse)

Au sujet de l’exercice 469-2 (Bulletin n° 472, page 776), Michel Hébraud propose : «  Pour aiguiser la curiosité, compléter la figure en définissant l’intersection des droites (DE) et (BC) en V. Le quadrangle ainsi défini a des propriétés intéressantes. Mais il y a bien d’autres pistes… ».

Réponse de René Manzoni (Le Havre)

Exercice 473-2 (Denis Page - Bourg-en Bresse)

Déterminer les extremums de cos a + cos b + cos c, sin a + sin b + sin c et $\mid e^{ia} + e^{ib} + e^{ic}\mid $ quand a, b et c sont les angles d’un triangle.

solution de l’auteur, Denis Page

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Extrait du livre « Arithmétique, classe de mathématiques », Maillard et Millet (Hachette 1960).


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