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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 486

Article du bulletin 486

et solutions de 484-1, 484-2 et 484-4

Bruno Alaplantive

Nouveaux exercices

Exercice 486-1 : un classique sous contrainte
Construire le point M de (d) qui minimise MA+MB sans sortir du cadre.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 486-2 : B. Lefebvre - Namur

Démontrer le critère de divisibilité par 7 suivant.
Le reste de la division d’un nombre entier par 7 s’obtient par cette méthode peu connue : on multiplie le premier chiffre de gauche par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; on multiplie le résultat par 3, puis on ajoute le chiffre suivant ; et ainsi de suite.
Le calcul se simplifie, si l’on prépare le nombre proposé en retranchant 7 à chacun de ses chiffres supérieurs ou égaux à 7 et si, dans le cours de l’opération, on retranche à chaque résultat avant de le multiplier par 3 le nombre 7 ou tout multiple de 7, s’il s’en trouve.
Par exemple, soit N = 196 874, ou 126 104. 1 × 3 + 2 = 5 ; 5 × 3 + 6 = 21, ou 0 ; 0 × 3 + 1 = 1 ; 1 × 3 + 0 = 3 ; 3 × 3 + 4 = 13 ou 6 ; R = 6.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 486-3 : B. Guisnée - Paris

Soient un segment [AB] et (d) sa perpendiculaire en A. On choisit un point M pris sur (d) et on construit le point P de la demi-droite [MB), qui n’appartient pas au segment [MB] qui vérifie :$ PB \times BM =AB^2$.
Déterminer le lieu de P lorsque M varie sur (d).
(Donner, si possible, une solution par géométrie analytique et une solution « purement » géométrique).

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 484-1 : Georges Lion, Wallis

A, B et C sont trois points non alignés tels que AB = AC. I est le milieu de [BC] et C le cercle de centre I tangent à (AB) et (AC).
M $\in$ [AB] et N $\in$ [AB] sont tels que (MN) est tangente à C.
Démontrer la relation :

$$BM \times CN={BC^2 \over 4}$$



Solution de Raymond Raynaud (Digne)

PDF - 854.7 ko

Solution en espagnol de Miguel Amengual Covas (Mallorca)

PDF - 1.4 Mo

Autres solutions : Albert Marcout (Sainte Savine), Bernard Collignon (Coursan), Georges Lion (Wallis).

Exercice 484-2 : Daniel Reisz - Auxerre (D’après un exercice proposé à l’olympiade suisse de 2005)

Tailler un polygone convexe, c’est lui couper un coin, un sommet. De façon plus précise et plus mathématique, tailler un polygone convexe de n côtés consiste à choisir deux côtés consécutifs AB et BC et à les remplacer par les cotés AM, MN et NC où M et N sont deux points pris respectivement sur les côtés ouverts ]AB[ et ]BC[. On obtient ainsi un polygone convexe de (n + 1) côtés d’aire plus petite que celle du polygone initial.
Soit P(6) un hexagone régulier d’aire 1. On le taille arbitrairement et on obtient ainsi successivement des polygones convexes P(7), P(8), P(9),...
Montrer que l’aire de P(n) restera toujours supérieure à 1/2.

Solution de Bruno Alaplantive (Calgary)

PDF - 1.2 Mo

Autres Solutions : Michel Lafond (Dijon), Daniel Reisz (Auxerre).

Exercice 484-4 : Question du concours australien de mathématiques 2008 (transmis par Georges Lion)
Quelle est la plus petite valeur que peut prendre

$$\sqrt{49+a^2-7a\sqrt2}+\sqrt{a^2+b^2-ab\sqrt2}+\sqrt{50+b^2-10b}$$

pour a et b nombres réels positifs ?

Solution : Georges Lion (Wallis)

PDF - 673.1 ko

Autre solution : Bernard Collignon (Coursan).

Nota. Le concours australien de mathématiques existe depuis 1977 (c’est lui qui a servi de modèle au concours Kangourou). Les candidats disposent d’une heure et quart pour répondre aux 25 questions d’un QCM, suivies de 5 questions ouvertes.
L’exercice proposé était l’une d’elles. Il était précisé que la réponse était un nombre entier inférieur à 1000.
La solution que propose Georges Lion est à tout le moins percutante ! L’étincelle qu’il faut avoir pour pouvoir répondre dans le temps imparti …

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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