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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 496

Article du bulletin 496

et solutions des 494-1, 494-2, 494-3, 494-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 496-1 (Pierre de Fermat – Beaumont de Lomagne)

Sur la figure ci-contre, le rectangle ABCD est tel que $AB=\sqrt 2 AD$
À partir d’un point M du demi-cercle de diamètre [AB] extérieur au rectangle, on construit les segments [MC] et [MD]. Les points X et Y sont leurs intersections respectives avec le côté [AB].
Prouver que $AX^2 + YB^2 = AB^2$ .

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 496-2 (Daniel Reisz – Auxerre) d’après un exercice proposé par Michel DEMAZURE, dans son Cours d’Algèbre, éditions Cassini

Une publication médicale annonce un traitement nouveau d’une maladie rare, efficace dans 29,41 % des cas. On sait que les malades qui ont fait l’objet de cet essai clinique étaient moins nombreux que 100.
Donner un nombre possible (on peut aussi proposer un algorithme renvoyant toutes les réponses possibles inférieures à 100).

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 496-3 (Louis-Marie Bonneval – Poitiers)

Cette photo représente un escalier en colimaçon vu d’en bas.
On a l’impression de voir une spirale. Est-ce le cas ?

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 496-4 (Frédéric de Ligt – Montguyon)

Un quadrilatère convexe, dont les côtés et les diagonales sont rationnels, est divisé par ses diagonales en quatre triangles.
Prouver que les côtés de chacun de ceux-ci sont rationnels.

Voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 494-1 (Daniel Riesz - Auxerre) A proposer à nos élèves de collège
Un rectangle ABCD a pour largeur AB = 4 et contient trois cercles tangents entre eux et aux cotés du rectangle comme indiqué sur la figure ci-contre. Quelle est sa longueur ?

PDF - 99.6 ko
Solution de François Drouin (IUFM de Lorraine)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Claude Carréga (Lyon), Robert Bourdon (Tourgeville), Frédéric de Ligt (Montguyon), Jean Gounon (Chardonnay).

Nota. La réponse est $3+2\sqrt 2$

Remarque. Dans la réponse qu’il fournirait à ses étudiants de Master préparant le professorat des écoles, François Drouin décide volontairement de ne pas aborder les considérations de symétrie de la figure, qui vont relever de la géométrie perceptive, alors qu’il lui faut travailler la géométrie déductive avec eux. S’ensuit une longue démonstration qui n’a pas d’autre but, en se montrant indigeste, que de poser la question de ce qui est vraiment attendu, à l’écrit, d’un élève de collège.
Il indique par ailleurs qu’en Allemagne, beaucoup de choses passent par l’oral…

Exercice 494-2 (Ali Akir – Tunis)
Trouver le terme général de la suite u dans chacun des cas suivants : a) $p \in \mathbb N$ ; u est définie sur $\mathbb N$ par $\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_0& \in \mathbb R&\\ u_{n+1}&=u_n+p \cdot E(u_n)&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$
où $E(u_n)$ désigne la partie entière de $u_n$ ;

b) u est définie sur $\mathbb N$ par $\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} u_0&=2&\\ u_{n+1}&=u_n+2-cos(\pi u_n)&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$

c) p et q sont des entiers naturels ;
u est définie sur $\mathbb N$ par $u_0 \in \mathbb N$ et pour tout $n \in \mathbb N$

$$ u_{n+1}=\begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} p+u_n&, \text{ si } u_n \text{ est pair}&\\ q+u_n&, \text{ si } u_n \text{ est impair}&\\ \end{aligned} \right. \end{equation*}$$

Solution de Jean-Yves LeCadre (Saint Avé)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Claude Carréga (Lyon), Robert Bourdon (Tourgeville), Frédéric de Ligt (Montguyon), Éric Oswald (Borgo).

Exercice 494-3 Arithmétique (d’après les olympiades mathématiques de l’union Soviétique 1962)
x, y et z désignent des entiers tous distincts.
Montrer que $(x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5$ est divisible par $5 (x - y) (y - z) (z - x)$.

PDF - 53.6 ko
Solution de Pierre Lapôtre (Calais)

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Yves LeCadre (Saint Avé), Jean-Claude Carréga (Lyon), Frédéric de Ligt (Montguyon), Robert Bourdon (Tourgeville), Raymond Heitz (Lavergne).

Moubinool Omarjee (Paris) s’est intéressé à cette relation pour d’autres exposants que 5.
Il a trouvé : $(x - y)^3 + (y - z)^3 + (z - x)^3$ est divisible par $3 (x - y) (y - z) (z - x)$ ; $(x - y)^7 + (y - z)^7 + (z - x)^7$ est divisible par $7 (x - y) (y - z) (z - x)$ ; $(x - y)^9 + (y - z)^9 + (z - x)^9$ est divisible par $3 (x - y) (y - z) (z - x)$, mais pas par 9 ; $(x - y)^11 + (y - z)^11 + (z - x)^11$ est divisible par $11 (x - y) (y - z) (z - x)$.

Il propose la conjecture suivante :
Si p ≥ 3 est un nombre premier, alors $p(x - y) (y - z) (z - x)$ divise $(x - y)^p + (y - z)^p+ (z - x)^p$ .

Exercice 494-4 Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach) (d’après august Ferdinand Möbius)
Soient A, B, C trois points consécutifs d’une parabole (P). Les tangentes à la parabole en A et C se coupent en D, celles en A et B se coupent en E, celles en B et C se coupent en F.
En notant KLM l’aire du triangle de sommets K, L, M et (KL) l’aire du segment de parabole limité par (P) et le segment de droite [KL], démontrer les trois relations :
a) $\sqrt[3]{ADC}=\sqrt[3]{AEB}+\sqrt[3]{BFC}$
b) $\sqrt[3]{AC}=\sqrt[3]{AB}+\sqrt[3]{BC}$
c) $ABC=3\cdot \sqrt[3]{AB} \cdot \sqrt[3]{BC}\cdot \sqrt[3]{CA}$
[lien ver la solution de François Drouin->doc29987>

Autres solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Claude Carréga (Lyon), Éric Oswald (Borgo), Robert Bourdon (Tourgeville), Pierre Lapôtre (Calais), Michel Sarrouy (Mende), Christophe Brighi ( ? ).

Remarque : Robert Bourdon propose une démonstration qui se passe des déterminants mais utilise la primitive $F(x) = k x^3 /3$ pour le calcul de l’aire verte sous la parabole d’équation $y = k x^2$ , qui permet alors le calcul du segment de parabole (AC) Je n’ai pas reçu de démonstration purement géométrique comme Pierre Lapôtre aurait aimé en trouver une.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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