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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 502

Article du bulletin 502

et solutions du 500-1

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 502-1 à proposer à nos élèves

A. Puzzle : d’un rectangle à un carré
Le principe est celui d’un découpage en escalier comme le montre la figure ci-dessous. a) Découper en deux morceaux un rectangle de 16,2 cm de long sur 12,8 cm de large pour en faire un carré.
b) Indiquer comment l’on découperait un rectangle de 8192 sur 7938.

B. Balance de Rob……erval
énigme proposée par Sam Loyd
Si une pyramide pèse une livre, combien pèsent les huit cubes ?

C. Tangente exercice proposé par Catherine Combelles
Trouver une droite à la fois tangente à la parabole $y= x^2$ et à l’hyperbole $y=\frac{1}{x}$

Voir l’article où est publiée la solution

Exercice 502-2 Géométrie
ABCD est un carré de centre O. Sur le cercle circonscrit, M est un point de l’arc CD.
Les segments [MA] et [MB] coupent le côté [CD] en E et F.
Montrer que DE $\cdot$ FC = 2 ([MDE] + [MCF]), où les écritures entre crochets désignentles aires.

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Exercice 502-3 tiré de la compétition mathématique suédoise 2004-2005
Une fonction f vérifie pour tout nombre réel x, $f(x) + x f(1 - x) = x^2$. Déterminer la fonction f.

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Exercice 502-4 proposé par l’équipeMayhem [1] d’une revue canadienne Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l} (a+b+c)d=420 \\ (a+c+d)b=403 \\ (a+b+d)c=363 \\ (b+c+d)a=228 \end{array} \right.$ , où a, b, c et d sont quatre entiers naturels

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Solutions

Exercice 500-1 On n’a pas tous les jours 100 ans (Heu …, c’est tous les combien déjà ?)
La figure 0 correspond à une affiche de 2010. Chaque année l’APMEP se plie en quatre pour promouvoir l’enseignement des maths. Le pliage est celui qui correspond aux figures successives.
Démontrer que, mathématiquement parlant, l’affiche du bicentenaire pourrait être la figure 10 ; c’est à dire que la figure 100 est identique à la figure 10. Indication : la figure 0 et donc ses suivantes font très exactement 256 ¥256 pixels et le logiciel utilisé « ne fait que » déplacer ceux-ci de manière analogue à chaque étape.

Solution de Michel Lafond (Dijon)
Remarque  :
Dans le programme, le côté c s’appelle b0 et en le faisant varier, on constate que la période de retour de l’image avec $c = 2^k$ est égale à 2k + 2. Ainsi pour c = 4, la période est 6 comme on le constate sur les schémas ci-dessous montrant les 6 transformations successives de « l’image » :

Nota.
L’image de l’affiche a été travaillée par le logiciel créé par Philippe Mathieu avec la transformation qui porte le nom de svastika. Les cas particuliers c = 8 et c = 4 détaillés par Michel Lafond sont également disséqués à partir d’une image en quatre couleurs sur des diaporamas disponibles sur le site de l’association.

Une autre transformation dite photomaton partage également en 4 mais sans adjoindre de rotation. En voici un exposé.

Étude de la transformation du photomaton : Jean-Raymond Delahaye (Grenoble)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Mathematical mayhem peut se traduire par chaos mathématique.


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