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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 504

Article du bulletin 504

et solutions des 502-1, 502-2, 502-3, 502-4

Bruno Alaplantive

- 8 janvier 2015 -

Exercices

Le thème du dossier de ce numéro 504 m’a incité à vous proposer des exercices de-ci, de là-bas. Le niveau ne dépasse pas la fin de notre secondaire et à ce titre les exercices doivent pouvoir être proposés à nos élèves. Les notations, inhabituelles, se comprennent aisément. Il en va relativement de même du texte…

Ne parlant couramment ni la langue de Goethe ni celle de Cervantès, quand j’ai vraiment été pris à défaut, le pourtant très mauvais traducteur de Google a suffi à me faire comprendre les questions. Y répondre n’est plus alors que l’affaire d’une langue internationale : les mathématiques !

Exercice 504-1 español

A. Prueba de Bachillerato – Mayo 2012

Considere la siguiente figura :
De acuerdo con los datos de figura, si XS es tangente a la circunferencia en S y
m $\measuredangle$ QPS=55°, entonces, mR PSX es
A) 35° B) 45° C) 55° D) 70°






B. Juan Antonio Trejo Peña, Universidad autonoma de Yucatan

  • Los pesos de sandías maduras cultivadas en un huerto están distribuidas normalmente con desviación estándar de 1.2 kg. Obtenga el peso medio de las sandías maduras si solo 3% pesa menos de 7.5 kg.
  • Una pistola de radar mide la velocidad de los lanzamientos que hacen los pichers de un equipo de beisbol durante un mes de juego. Estos lanzamientos se distribuyen normalmente con velocidad promedio de 85 millas por hora. Cuál es la desviación estándar si el 30% de los lanzadores tiran velocidades superiores a las 92 mi/hr.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 504-2 english
Everything Maths, Grade 12 Mathematics, Siyavula, Republic of South Africa

A. Find the values of the unknown letters

B. D is the top of a tower of height h. Its base is at A. The triangle ABC lies on the ground (a horizontal plane).
If we have that BC = b, $\widehat{DBA}=\alpha$, $\widehat{DBC}=\beta$ and $\widehat{DCB}=\theta$, show that

$$h=\frac{b\sin \alpha \sin \theta}{\sin(\beta + \theta )}$$

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Exercice 504-3 deutsch
Mathematik – Musteraufgaben für Jahrgang 10 (Gymnasium) Über dem Hauptportal des Straßburger Münsters befindet sich eine gotische Fensterrosette mit dem Durchmesser von 14 m. Ihr unterer Rand ist 28 m über dem Boden.

Die Touristin Jana steht 60 m von dem Hauptportal entfernt und hält ihre Kamera in Augenhöhe von 1,50 m.

Der « Sehwinkel" ist der Winkel zwischen oberem Rosettenrand, Auge des Beobachters und unterem Rosettenrand. Berechne den Sehwinkel, unter dem Jana die Fensterrosette sieht.

En supplément je vous propose de calculer la distance à laquelle Jana doit se placer pour avoir le plus grand angle de vue (pour nos élèves, l’inspecteur de fonction de Geogebra serait indispensable).

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Exercice 504-4 français
Exercice du défi ouvert canadien de mathématiques 2012
Si n est un entier positif, on dit que le n-uplet ($x_1, x_2, … , x_n$) où chaque $x_i$ est un entier positif est un super-carré si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(1) $x_1> x_2 > x_3 > … > x_n$.
(2) La somme $x_1^2+ x_2^2 + x_k^2$ est un carré parfait pour chaque k entier de 1 à n.
Par exemple, (12, 9, 8) est super-carré car 12 > 9 > 8, et chacune des sommes $12^2, 12^2 + 9^2$ , et $12^2 + 9^2 + 8^2$ est un carré parfait.

(a) Déterminer toutes les valeurs de t telles que (32, t, 9) soit un super-carré.
(b) Trouver un 4-uplet super-carré ($x_1, x_2, x_3, x_4$) avec $x_1< 200$.
(c) Déterminer s’il existe un 2012-uplet super-carré.

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Solutions

J’ai reçu trop « tardivement  » des réponses de Georges Lion, Odile Simon, L.G Vidiani et Jean-Paul Thabaret, pour les exercices du n°501 et n’ai pas pu en faire état dans le n°503. Ce problème est dû au retard dans les dates d’envoi des BV en regard des dates de réunion de la commission. Ce décalage est en passe de se régler et devrait « normalement » vous laisser l’intervalle inter-bulletin ou presque pour vos envois.

Exercice 502-1 à proposer à nos élèves

A. Puzzle : d’un rectangle à un carré
Le principe est celui d’un découpage en escalier comme le montre la figure ci-dessous. a) Découper en deux morceaux un rectangle de 16,2 cm de long sur 12,8 cm de large pour en faire un carré.
b) Indiquer comment l’on découperait un rectangle de 8192 sur 7938.

B. Balance de Rob……erval
énigme proposée par Sam Loyd
Si une pyramide pèse une livre, combien pèsent les huit cubes ?

C. Tangente exercice proposé par Catherine Combelles
Trouver une droite à la fois tangente à la parabole $y= x^2$ et à l’hyperbole $y=\frac{1}{x}$

Solutions : Jean-Yves Hély (Rennes), Jacques Chayé (Poitiers), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Albert Marcout (Sainte Savine), Odile Simon (La Prénessaye), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Jean Gounon (Chardonnay), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac).

Voici les solutions de Jean-Yves Hély
Il demande également ce qu’il se passe dans le cas simple (limite) où L = 4$\ell$.

Exercice 502-2 Géométrie
ABCD est un carré de centre O. Sur le cercle circonscrit, M est un point de l’arc CD.
Les segments [MA] et [MB] coupent le côté [CD] en E et F.
Montrer que DE $\cdot$ FC = 2 ([MDE] + [MCF]), où les écritures entre crochets désignent les aires.

Solutions : Jean-Yves Hély (Rennes), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Albert Marcout (Sainte Savine), Marcel Bauval (Versailles), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac).

Voici la solution de Jean-Paul Thabaret.

Remarque. Les manières d’aborder cet exercice ont été multiples : repérage, trigonométrie et tangentes, puissance d’un point par rapport à un cercle, aires.

Exercice 502-3 tiré de la compétition mathématique suédoise 2004-2005
Une fonction f vérifie pour tout nombre réel x, $f(x) + x f(1 - x) = x^2$. Déterminer la fonction f.

Solutions : Daniel Văcaru (Pitești, Roumanie), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Albert Marcout (Sainte Savine), Odile Simon (La Prénessaye), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac).

Voici la solution de Daniel Văcaru.

Exercice 502-4 proposé par l’équipeMayhem [1] d’une revue canadienne Résoudre le système $\left\{ \begin{array}{l} (a+b+c)d=420 \\ (a+c+d)b=403 \\ (a+b+d)c=363 \\ (b+c+d)a=228 \end{array} \right.$ , où a, b, c et d sont quatre entiers naturels

Solutions : Jean-Yves Hély (Rennes), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Odile Simon (La Prénessaye), Marcel Bauval (Versailles), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende), L.G Vidiani (Fontaine les Dijon), Vincent Thill, Raymond Heitz (Piriac).

Voici la solution de Marcel Bauval.
Jean-Yves Hély propose également la solution qui suit.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Mathematical mayhem peut se traduire par chaos mathématique.


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