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  APMEP   Exercices de-ci de-là du BV 506

Article du bulletin 506

et solutions des 504-1, 504-2, 504-3, 504-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 506 - 1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach. Une duplication du cube sur une idée de Claude Comiers

Le triangle ABC est rectangle en C, d’hypoténuse AB double du côté BC et de milieu D. Une droite issue de A coupe la demi - droite [CB) en F et le cercle de diamètre [AB] en E tels que AD = DE = EF.

Démontrer que $BF^3 = 2BC^3$.

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 506 - 2 Marie-Nicole Gras – Le Bourg d’Oisans d’après les Olympiades suédoises 1982

On considère un quadrilatère convexe ABCD et on suppose qu’il existe à l’intérieur de ce quadrilatère un point P tel que les aires des quatre triangles PAB, PBC, PCD et PDA soient égales. Caractériser de tels quadrilatères et préciser la position du point P.

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 506 - 3 Georges Lion – Wallis

La figure ci-contre illustre l’idée d’Euclide dans III.17 pour construire la tangente menée de B au cercle $\Gamma$.

Généraliser l’idée d’Euclide pour construire les tangentes communes à deux cercles de centres O et O’, de rayons R et R’ tels que OO’ > R + R’ > 2R’, dont les points de contact avec le grand cercle sont d’un même côté de la droite (OO’).

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Exercice 506 - 4 pioché de-ci, de-là

Soient deux entiers naturels n et m tels que $ n \ge m^2 \ge 16$. Prouver que $2^n ≥ n^m$ .

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Solutions

Exercice 504-1 español

A. Prueba de Bachillerato – Mayo 2012

Considere la siguiente figura :
De acuerdo con los datos de figura, si XS es tangente a la circunferencia en S y
m $\measuredangle$ QPS=55°, entonces, mR PSX es
A) 35° B) 45° C) 55° D) 70°






B. Juan Antonio Trejo Peña, Universidad autonoma de Yucatan

  • Los pesos de sandías maduras cultivadas en un huerto están distribuidas normalmente con desviación estándar de 1.2 kg. Obtenga el peso medio de las sandías maduras si solo 3% pesa menos de 7.5 kg.
  • Una pistola de radar mide la velocidad de los lanzamientos que hacen los pichers de un equipo de beisbol durante un mes de juego. Estos lanzamientos se distribuyen normalmente con velocidad promedio de 85 millas por hora. Cuál es la desviación estándar si el 30% de los lanzadores tiran velocidades superiores a las 92 mi/hr.

Solutions : Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michèle Malléus (Châtenay-Malabry), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques),

Voici les solutions de Jean-Paul Thabaret

Exercice 504-2 english
Everything Maths, Grade 12 Mathematics, Siyavula, Republic of South Africa

A. Find the values of the unknown letters

B. D is the top of a tower of height h. Its base is at A. The triangle ABC lies on the ground (a horizontal plane).
If we have that BC = b, $\widehat{DBA}=\alpha$, $\widehat{DBC}=\beta$ and $\widehat{DCB}=\theta$, show that

$$h=\frac{b\sin \alpha \sin \theta}{\sin(\beta + \theta )}$$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Jean Gounon (Chardonnay), Michel Sarrouy (Mende), Daniel Văcaru (Pitești, Roumanie).

Voici les solutions de Jean Gounon.

Exercice 504-3 deutsch
Mathematik – Musteraufgaben für Jahrgang 10 (Gymnasium) Über dem Hauptportal des Straßburger Münsters befindet sich eine gotische Fensterrosette mit dem Durchmesser von 14 m. Ihr unterer Rand ist 28 m über dem Boden.

Die Touristin Jana steht 60 m von dem Hauptportal entfernt und hält ihre Kamera in Augenhöhe von 1,50 m.

Der « Sehwinkel" ist der Winkel zwischen oberem Rosettenrand, Auge des Beobachters und unterem Rosettenrand. Berechne den Sehwinkel, unter dem Jana die Fensterrosette sieht.

En supplément je vous propose de calculer la distance à laquelle Jana doit se placer pour avoir le plus grand angle de vue (pour nos élèves, l’inspecteur de fonction de Geogebra serait indispensable).

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende).

Voici la solution de Pierre Renfer.

Remarques.
Pierre Renfer signale avoir été particulièrement ému par l’exercice en allemand, pour avoir fait toute sa carrière au lycée Fustel de Coulanges, à côté de la magnifique cathédrale de Strasbourg dont la rosace est si lumineuse.
Sa solution pour l’angle maximal l’est tout autant !!! Foin de Geogebra ou de fonction hors programme, un argument de pure géométrie suffit à retourner la valeur exacte de la distance à laquelle il faut se placer. Voilà comment l’on résout avec des connaissance de collège, un problème que je pensais n’être même pas destiné aux élèves de lycée…
Jean-Paul Thabaret et Michel Sarrouy ont tous deux étudié une fonction en Arc tangente.
La solution de Michel Sarrouy – partie 1 en allemand, partie 2 en français – en outre prolongée d’une étude de section conique, est disponible sur le site de l’association ; ainsi qu’un fichier Geogebra montrant tout de même l’utilisation pressentie.

Exercice 504-4 français
Exercice du défi ouvert canadien de mathématiques 2012
Si n est un entier positif, on dit que le n-uplet ($x_1, x_2, … , x_n$) où chaque $x_i$ est un entier positif est un super-carré si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
(1) $x_1> x_2 > x_3 > … > x_n$.
(2) La somme $x_1^2+ x_2^2 + x_k^2$ est un carré parfait pour chaque k entier de 1 à n.
Par exemple, (12, 9, 8) est super-carré car 12 > 9 > 8, et chacune des sommes $12^2, 12^2 + 9^2$ , et $12^2 + 9^2 + 8^2$ est un carré parfait.

(a) Déterminer toutes les valeurs de t telles que (32, t, 9) soit un super-carré.
(b) Trouver un 4-uplet super-carré ($x_1, x_2, x_3, x_4$) avec $x_1< 200$.
(c) Déterminer s’il existe un 2012-uplet super-carré.

Solutions : Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raymond Heitz (Piriac), Michel Lafond (Dijon).

Voici la solution de Michel Lafond.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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