Exercices

Exercice 464-1 (Georges Lion – Wallis, et Maurice Starck – Nouméa)
En le point Q milieu d’une corde [AB] d’un cercle C se coupent deux cordes [UV] et [XY] ; la droite (AB) coupe (UX) en M et (VY) en N. Montrer que Q est aussi le milieu de [MN].
On souhaite une solution sans calculs et, si possible, élémentaire.

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Exercice 464-2
À tout point P intérieur à l’ensemble E délimité par le segment [AB] et deux demi-droites [Ax) et [By) à supports parallèles et de même sens on associe le point Q intérieur à E tel que les angles \(\widehat{xAQ}\) et \(\widehat{BAP}\) soient égaux de même que les angles \(\widehat{yBQ}\) et \(\widehat{ABP}\).

Trouver le lieu géométrique du milieu I de [PQ].

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Exercice 464-3 (Corol’aire n^o 54 Ex 3 : Jean-Claude Laugier – Rochefort)
Soit un ensemble A de nombres entiers compris entre 1 et 1 000 tel qu’aucun élément de A ne soit le double d’un élément de A. Quel est le nombre maximal d’éléments de A ?

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Solutions

Exercice 462-1 Corol’aire n^o 27 – janvier 1997
Résoudre dans \(\mathbb{R } \) le système de quatre équations à quatre inconnues :
\(\left\{ \begin{array}{r c l} x +y +z+ t=0 \\ xy +xz+xt+ yz+ yt+ zt=0 \\ xyz+ xyt+ xzt+ yzt=0 \\ xyzt=0 \end{array} \right. \)

Solution de Mathilde Lahaye-Hitier (IUFM Bretagne)

Solutions du même type : Nicolas Patrois, Alain Corré (Moulins).
Autres solutions de Georges Lion (Wallis) et Albert Marcout (Sainte-Savine).

Exercice 462-2 Claude Marcy (Chatellerault) – Corol’aire n^o 59 – décembre 2004
Pour quelles valeurs de k le coefficient du binôme de Newton \(\left( \begin{array}{c} 2k-1\\ k\\ \end {array} \right) \) est-il impair ?

Solution de René Manzoni (Le Havre)
Une solution d’Alain Corré (Moulins) qui nous renvoie à l’article de Vincent Lefevre sur le triangle de Pascal dans \(\mathbb Z\)/\(p \mathbb Z\)

Autres solutions de Georges Lion (Wallis) et Richard Beczkowski (Dijon).

Exercice 462-3 Miguel Amengual Covas (Mallorca)
Soit S le point d’intersection des tangentes extérieures à deux cercles extérieurs.
Par S on trace une droite qui coupe les deux cercles en quatre points. Les tangentes en ces quatre points forment un quadrilatère.
Montrer que :

1. ce quadrilatère est un parallélogramme,
2. une de ses diagonales passe par S,
3. l’autre diagonale est l’axe radical des deux cercles.

Solution de Richard Beczkowski (Dijon)

Autres solutions de : Annette Molard (Strasbourg), Marie-Laure Chaillou (Épinay), Georges Lion (Wallis), Alain Corré (Moulins), Albert Marcout (Sainte-Savine), Raymond Raynaud (Digne).