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  APMEP   Exercices deci-dela du BV 493

Article du bulletin 493

et solutions du 491-1, 491-2, 491-3, 491-4

Exercices

Exercice 493-1 (Jean-Yves Le Cadre – Saint Avé)
Voici un trièdre trirectangle composé de trois miroirs.
Un rayon lumineux se réfléchit sur les trois faces successivement.
Que dire du dernier rayon réfléchi ?

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 493-2 (Raphaël Sinteff – Nancy)
Soit la suite $(u_n)$ d’entiers naturels définie par $u_0 \in \mathbb N*$, pour tout n entier naturel non nul, et $u_{n+1}= \left\{ \begin{array}{l} \frac{u_n}{2} \text{ si $u_n$ est pair} \\ u_n+3 \text{ si $u_n$ est impair} \end{array} \right.$

Montrer qu’il existe un entier $n_0$ tel que pour tout entier $n ≥ n_0 \ \ u_{n+3}= u_n \text{ ou } u_{n+2}= u_n$.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 493-3 (pioché de-ci, de-là…)
Dans le triangle ABC ci-contre, D est un point du segment [AC]. On a de plus : AD = BC ; BD = DC ; $\widehat{DBC}=2x$ et $\widehat{DAC}=3x$
On demande la valeur de x.

voir l’article où est publiée la solution

Exercice 493-4 (Georges Lion – Wallis)
Une droite D étant donnée ainsi que deux points distincts A et B hors de D.
Déterminer les points de D en lesquels la fonction définie par $M \rightarrow \frac{MA}{MB}$ atteint ses extrema (lorsque ces atteintes ont lieu).

voir l’article où est publiée la solution

Solutions

Exercice 491-1 (Daniel Reisz – Auxerre)
(exercice d’algèbre proposé à l’Université de Cambridge en 1877)
Trois Hollandais de mes amis, Henri, Nicolas et Corneille, récemment mariés, sont venus me faire une visite avec leurs femmes Gertrude, Catherine et Anna, mais j’ai oublié le nom de la femme de chacun en particulier. Ils m’ont dit qu’ils avaient été acheter des cochons au marché. Chacun d’eux en a acheté autant que le prix qu’il a payé pour un cochon. Henri a acheté 23 cochons de plus que Catherine ; Nicolas 11 de plus que Gertrude et chaque mari a dépensé 3 guinées (1 guinée = 21 schillings) de plus que son épouse. Pourriez-vous me dire d’après ces renseignements le prénom de l’épouse de chacun des hommes ?

Solution de Richard Beczkowski (Chalon sur Saône)
Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville), Daniel Reisz (Auxerre), Georges Lion (Wallis).

Nota.
Daniel Reisz indique qu’il s’agit d’un exercice d’algèbre proposé à l’Université de Cambridge en 1877, d’après un énoncé paru dans Miscellany of mathematical problems en 1743 ; qu’il a lui-même découvert dans l’ouvrage Questions d’arithmétique de B. Niewenglowski, Inspecteur Général, Vuibert, 1927, accompagné de la remarque suivante :
Catalan écrit à propos de cette question dont il a eu connaissance : « Voici un exemple, assez grossier, de l’art d’ensevelir le fond sous les accessoires. Si l’arithméticien qui en 1743 inventait cette question ridicule, si l’Université de Cambridge qui a cru la tirer d’un juste oubli, n’ont pas dit tout simplement : “ Résoudre en nombres entiers les équations : x² - x’²= y² - y’²=z² - z’²=63 ; x² - y’² = 23 ; y - z’ = 11 ” ; c’est sans doute par respect pour la maxime : “ Plus on est obscur, plus on est savant ! ” Comme s’il n’y avait rien de préférable à la clarté et à la simplicité. »  [1]

Exercice 491-2

  • Soient A et P deux points du plan tels que AP = 4. Construire un triangle ABC rectangle et isocèle en A tel que BP = 6 et CP = 2
  • A l’intérieur d’un triangle ABC rectangle et isocèle en A, P est le point tel que AP = 4 , BP = 6 et CP = 2 ( longueurs mesurées en cm ). Combien mesure l’aire du triangle ABC en $cm^2$ ?

Solution de Jérôme Esquerré (Ramonville-Saint-Agne) pour la construction
Solution de Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques) pour l’aire
Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville), Michel Sarrouy (Mende), Alain Corre (Moulins), Georges Lion (Wallis), Patrice Debart (Marseille).

La solution complète de Jérôme Esquerré montre plusieurs façons d’obtenir l’aire du triangle, qui était la question parue dans Affaire de logique. Il propose aussi quatre méthodes différentes pour le calcul de l’aire

Exercice 491-3 (Jacques Borowczyk – Tours)
(configuration d’Armand Borgnet (1842))
Soient deux cercles $( C_1)$ et $( C_2 )$ dont les centres $O_1$ et $O_2$ sont les extrémités d’un diamètre du cercle $( C_3)$ de centre $O_3$ et dont la somme des rayons est égale au diamètre du cercle $( C_3)$. Alors, toute tangente commune à deux de ces trois cercles ne passant pas par le point de contact des cercles $( C_1 )$ et $( C_2)$ est tangente au troisième cercle et les arcs de cercle des cercles $( C_1)$ et $( C_2)$ interceptés par le cercle $( C_3)$ ont des flèches de même longueur.

Solution de Robert Bourdon (Tourgeville)
Autres solutions : Maurice Bauval (Versailles), Jean-Claude Carréga (Lyon), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Sarrouy (Mende), Alain Corre (Moulins), Richard Beczkowski (Chalon-sur-Saône), Georges Lion (Wallis).

Remarque.
Pour le calcul des flèches, Michel Sarrouy a étudié le cas général de la longueur de la flèche de l’arc d’un cercle intercepté par un autre cercle ; les autres solutions utilisaient les notions d’homothétie, puissance d’un point par rapport à un cercle, axe radical. J’ai privilégié la solution qui abordait les connaissances minimales.

Nota.
Armand Borgnet est un mathématicien français du 19ème siècle. Professeur de mathématiques (agrégation en 1830), il a publié des ouvrages de géométrie dont Essai de géométrie analytique de la sphère (1847), De la mesure des aires sphériques (1860).
L’exercice 491-3 est extrait de la Note sur quelques théorèmes de géométrie parue dans les Annales de la Société d’Agriculture d’Indre et Loire, 1842, p.134-137, sous les deux formes suivantes :
Si des deux extrémités du diamètre d’un cercle, comme centre, on décrit deux circonférences avec des rayons dont la somme soit égale à ce diamètre, les arcs des circonférences, interceptées par la première, auront des flèches égales.
Deux circonférences étant tangentes extérieurement, si l’on vient à décrire une troisième circonférence sur la distance des centres des deux premières, comme diamètre, les trois circonférences ainsi tracées auront une tangente commune, et le point de contact moyen sera également éloigné des deux points de contact extrêmes.

Exercice 491-4 (Georges Lion – Wallis)
(question du concours australien de mathématiques 2010)
Deux pavés 10 x18 × L sont disposés des deux côtés d’un cylindre de longueur L pour l’empêcher de rouler. L’un des pavés a une face 10x L sur le sol tandis que l’autre a une face 18 × L sur le sol.
L’un des pavés dépasse en largeur de 4 unités de plus que l’autre, par rapport à la génératrice posée sur le sol.
Calculer le rayon R du cylindre sachant qu’il s’agit d’un entier strictement supérieur à 18.

Solution de Jean-Claude Carrega (Lyon)
Autres solutions : Robert Bourdon (Tourgeville), Michel Sarrouy (Mende), Guy LeProvost (Trelivan), Jean Gounon (Chardonnay), Georges Lion (Wallis), Richard Beczkowski (Chalon sur Saône).

La solution de Michel Sarrouy et son fichier dynamique Geogébra

Animation pour la solution de M. Sarrouy

Désolé, l’appliquette Geogebra n’a pas pu démarrer. Merci de vérifier que Java 1.4.2 (ou plus récent) est installé et activé. (cliquer ici pour installer Java maintenant)

Du bon usage des fichiers GeoGebra

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)

[1] Ce à quoi, environ 120 ans plus tard, Louis-Marie Bonneval rétorque : Pourquoi faire scolaire quand on peut faire ludique ?


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