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  APMEP   Exercices deci dela du BV 507

Article du bulletin 507

Et solutions des 505-1, 505-2, 505-3, 505-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 507-1 Raphael Sinteff – Nancy
Soient FGH un triangle équilatéral et $\mathcal{H}$ l’hyperbole de foyer F, de directrice (GH), d’excentricité 2.

Construire à la règle et au compas les sommets S, S’ et le centre O de l’hyperbole $\mathcal{H}$.

Montrer que les droites (OG) et (OH) sont les asymptotes de l’hyperbole $\mathcal{H}$.

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Exercice 507-2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
Démontrer que la distance du centre de gravité au centre du cercle circonscrit d’un triangle est égale au tiers du rayon de ce cercle si et seulement si le triangle est rectangle.

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Exercice 507-3 Le Petit Vert – « en passant par la Lorraine avec mon Reuleaux… »

Publication de la régionale APMEP de Lorraine, le Petit Vert soumet au « Gros Vert » le problème du partage d’un triangle de Reuleaux en huit parts de même aire.

Voici plus précisément la demande formulée par l’équipe du Petit Vert, une fois choisi un axe de symétrie de la figure :

« … il est très facile de montrer qu’un découpage à partir du centre avec 8 angles de 45° ne donnera pas des parts égales (fig. 1). Nous vous proposons ci-dessous une solution approximative, obtenue par tâtonnements, qui semble donner des parts égales (fig. 2) ; remarquer que $J_1, O_1, F_1$ ne sont pas alignés). Le problème est le suivant : peut-on déterminer de façon rigoureuse la position des points $O_1, J_1$ et $D_1$ de façon que les parts soient égales ? »

La rubrique reste évidemment preneuse de toute autre solution au partage en huit.

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Exercice 507-4 pour nos élèves

A. Chacun des chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 est utilisé une seule fois pour former un nombre de cinq chiffres. Combien vaut la somme de tous les nombres de cinq chiffres que l’on peut ainsi former ?

B. On dispose de pièces de monnaie, sans pouvoir faire exactement 1 € en les prenant toutes ou en en prenant que quelques-unes. Quel est le montant maximal de ces pièces ? (on ne dispose pas de pièce d’une valeur supérieure à 1 €)

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Solutions

Exercice 505 - 1 Jean-Yves Hély – Rennes issu du Baccalauréat séries scientifiques, Lyon 19.. ( ?) _ Étant donné sur une circonférence dont le centre est O, un arc BC, du milieu A de cet arc, on mène les deux autres sécantes AFD et AGE.

Démontrer que l’on a $FE \times DG = DF \times GE + FG \times DE.$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raphael Sinteff (Nancy), Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac), Jean-Yves Hély (Rennes).

Voici la solution de Marie-Nicole Gras.

Exercice 505 - 2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Strasbourg
Trouver toutes les paires de fractions $\left\{ \frac{p}{q}, \frac{r}{s} \right\}$, avec p, q, r, s entiers naturels non nuls, telles que $ \frac{p}{q} \times \frac{r}{s} = \frac{p}{q} + \frac{r}{s}$

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raphael Sinteff (Nancy), Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac), L. G. Vidiani (Fontaine les Dijon), Jean Gounon (Chardonnay), Alain Parmentelat (Poligny), Damien Chantemilant (Sainte-Maure de Tourraine), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach).

Voici la solution de Damien Chantemilant.

Exercice 505 - 3 Raymond Heitz – Piriac
On donne dans le plan une droite (D) et deux points A et B situés hors de (D) du même côté de (D). Construire un cercle passant par A et B et découpant sur (D) un segment de longueur donnée.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Piriac).

Voici la solution de Pierre Renfer.

Exercice 505 - 4 Noel Ard – Pise
La suite $v_n$ est définie pour tout entier naturel non nul par

$$v_n=u_n \times 10^{-n-1}$$

où $u_n$ désigne le n-ième terme de la suite de Fibonacci.

Prouver que la somme des termes de $(v_n)$ est égale à $\frac{1}{89}$.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Raphael Sinteff (Nancy), Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Jean-Paul Thabaret (Grenoble), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac), L. G. Vidiani (Fontaine les Dijon), Jean Gounon (Chardonnay), Alain Parmentelat (Poligny), Fabrice Laurent (Bayon).

Voici la solution de Fabrice Laurent.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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