Accueil » Publications » Le Bulletin Vert » Exercices "De-ci de-là" » Exercices deci dela du BV 509
  APMEP   Exercices deci dela du BV 509

Article du bulletin 509

Et solutions des 507-1, 507-2, 507-3, 507-4

Bruno Alaplantive

Exercices

Exercice 509–1 Amahl Servois – Besançon
Les points B et C sont du même côté d’un obstacle. On veut déterminer de l’autre côté de l’obstacle un point qui sera sur la droite (BC).

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 509–2 pour nos élèves

A. a est un réel positif tel que $a^2+\frac{1}{a^2}=5$. Déterminer la valeur de $a^3+\frac{1}{a^3}$

B. On écrit au tableau les entiers naturels de 1 à n. Un des nombres est effacé. La moyenne des n − 1 entiers restants est égale à $46 + \frac{20}{23}$. Déterminer la valeur de n ainsi que le nombre effacé.

C. On considère deux nombres réels x et y tels que $0 < y < x \le 1$. Montrer que

$$\frac{ln(x)-ln(y)}{x-y}>ln \left( \frac{1}{y} \right ).$$

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 509 - 3 A. Benoit – Paris
Trouver le lieu géométrique du point de contact entre un plan donné et une sphère variable, tangente à ce plan et passant par deux points B et C donnés, extérieurs au plan et situés d’un même côté de celui-ci.

voir l’article où est publiée une solution

Exercice 509 - 4 Rose Hasse – Nîmes transmis par Bernard Parzysz Dans la figure ci-dessous, on considère les cercles circonscrits aux dodécagones.
Calculer le rapport du rayon du cercle extérieur à celui des sept cercles intérieurs.

voir l’article où est publiée une solution

Solutions

Exercice 507-1 Raphael Sinteff – Nancy
Soient FGH un triangle équilatéral et $\mathcal{H}$ l’hyperbole de foyer F, de directrice (GH), d’excentricité 2.

Construire à la règle et au compas les sommets S, S’ et le centre O de l’hyperbole $\mathcal{H}$.

Montrer que les droites (OG) et (OH) sont les asymptotes de l’hyperbole $\mathcal{H}$.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Albert Marcout (Sainte-Savine), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac), Maurice Bauval (Versailles),Georges Lion (Wallis), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach).

Voici la solution de Maurice Bauval.

Remarque. De l’utilisation de la règle et du compas à la correction dématérialisée des copies (citée dans le BV 507), en passant par l’abandon total de l’étude des sections coniques… quelques commentaires étaient joints aux solutions.
Sic transit gloria mundi ? OU Aliam vitam, alio mores … ?

Exercice 507-2 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
Démontrer que la distance du centre de gravité au centre du cercle circonscrit d’un triangle est égale au tiers du rayon de ce cercle si et seulement si le triangle est rectangle.

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Albert Marcout (Sainte-Savine), Michel Sarrouy (Mende), Raymond Heitz (Piriac), Michel Dofal (Olivet),Jean-Claude Renaud (Poitiers), Michel Lafond (Dijon), Maurice Bauval (Versailles), Georges Lion (Wallis), Jean-Pierre Friedelmeyer (Osenbach).

Voici la solution de Jean-Claude Renaud.

Exercice 507-3 Le Petit Vert – « en passant par la Lorraine avec mon Reuleaux… »

Publication de la régionale APMEP de Lorraine, le Petit Vert soumet au « Gros Vert » le problème du partage d’un triangle de Reuleaux en huit parts de même aire.

Voici plus précisément la demande formulée par l’équipe du Petit Vert, une fois choisi un axe de symétrie de la figure :

« … il est très facile de montrer qu’un découpage à partir du centre avec 8 angles de 45° ne donnera pas des parts égales (fig. 1). Nous vous proposons ci-dessous une solution approximative, obtenue par tâtonnements, qui semble donner des parts égales (fig. 2) ; remarquer que $J_1, O_1, F_1$ ne sont pas alignés). Le problème est le suivant : peut-on déterminer de façon rigoureuse la position des points $O_1, J_1$ et $D_1$ de façon que les parts soient égales ? »

La rubrique reste évidemment preneuse de toute autre solution au partage en huit.

Solutions : Marie-Nicole Gras (le Bourg d’Oisans), Michel Sarrouy (Mende),Maurice Bauval (Versailles).

Voici la solution de Marie-Nicole Gras.

Exercice 507-4 pour nos élèves

A. Chacun des chiffres 1, 2, 3, 4 et 5 est utilisé une seule fois pour former un nombre de cinq chiffres. Combien vaut la somme de tous les nombres de cinq chiffres que l’on peut ainsi former ?

B. On dispose de pièces de monnaie, sans pouvoir faire exactement 1 € en les prenant toutes ou en en prenant que quelques-unes. Quel est le montant maximal de ces pièces ? (on ne dispose pas de pièce d’une valeur supérieure à 1 €)

Solutions : Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Michel Lafond (Dijon).

Voici les solutions de Michel Lafond.

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
 Accueil   Plan du site   Haut de la page   Page précédente