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  APMEP   Exercices deci dela du BV 510

Article du bulletin 510

Et solutions des 508-1, 508-3, 508-4

- 20 septembre 2016 -

Exercices

Exercice 510-1 Michel Lafond – Dijon arithmétique
n est un entier naturel positif écrit en base dix. On note d(n) le dernier chiffre de n et s(n) la somme des chiffres de n.

Si $a=\frac{3^{2014}-1}{2}$ démontrer que d(a) = s(s(s(a))).

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Exercice 510 - 2 Greg Leceul – Detroit only rule
Deux cercles concentriques étant donnés sans leur centre, retrouver celui-ci à la règle seule (sans graduation).

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Exercice 510 - 3 Louis-Marie Bonneval – Poitiers pour nos élèves
Les organisateurs du banquet disposent de tables rondes de 150 cm de diamètre. Ils ont fait faire des nappes carrées pour les recouvrir. Mais suite à une erreur de mesure ces nappes ne font que 140 cm de côté.
Peuvent-ils avec deux nappes recouvrir complètement une table ?

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Exercice 510 - 4 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
• Dans un plan euclidien, déterminer et construire à la règle et au compas les carrés dont les côtés (éventuellement prolongés) passent par quatre points donnés du plan.

Et le problème dual :
• Dans un plan euclidien, déterminer et construire à la règle et au compas les carrés dont les sommets sont situés sur quatre droites données du plan.

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Solutions

Exercice 508-1 Jean-Pierre Friedelmeyer – Osenbach
Une lunule d’Hippocrate est délimitée par le demi-cercle de diamètre [AB] et le quart de cercle (OAB) de centre O.
On demande de partager cette lunule en n parties d’aires égales, par des rayons issus de O.

Voici la solution de Pham Dang Long puis celle de André Stoll

Exercice 508–3 Georges Lion – Wallis tiré de « Euclid and beyond », par Robin Hartsborne
Soit un angle droit $\widehat{xOy}$, un point A à l’intérieur du premier quart de plan et un point B sur [Oy) tels que OB > OA.
Construire le cercle de centre O coupant [Ox) en C et [Oy) en D tels que les droites (BC) et (DA) soient parallèles.

Solutions : Pierre Lapôtre (Calais), Odile Simon (La Prénessaye), Raymond Heitz (Piriac), Georges Lion (Wallis).

Voici la solution de Odile Simon.

Remarque.
La contrainte OB > OA permet simplement de limiter les différents cas pour les constructions, sans être spécifique de l’existence et de l’unicité de la solution.

Exercice 508–4 à défaut de se plier en quatre … pour nos élèves Voici un pliage, connu sous le nom de théorème de Haga, qui permet de déterminer le tiers du côté d’un carré.
Le milieu E du côté [DC] ayant été marqué au préalable (on ramène [CB] sur [DA] et on ne fait que marquer le pli sur E), on plie le carré ABCD de façon à amener le coin inférieur droit B, sur E.
Le côté qui était en bas coupe maintenant le côté gauche [DA] en F.
Il s’agit de prouver que F est au tiers (ou aux deux tiers) du côté [DA].
On peut faire plier des carrés de côté 8 ou 16 cm par exemple…

Solutions : Pierre Lapôtre (Calais), Pierre Renfer (Saint Georges d’Orques), Marie-Nicole Gras (Le Bourg d’Oisans), Raymond Heitz (Piriac), Odile Simon (La Prénessaye).

Voici la solution de Pierre Lapôtre (qui propose une première solution analytique, puis celle qui suit)

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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