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  APMEP   GÉOMÉTRIE PROJECTIVE

Article du bulletin 457

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Henri Bareil

- 27 novembre 2016 -

par Robert Rolland.

Publication (n°30) de l’IREM d’Aix- Marseille (mél : dir@irem.univ-mrs.fr).

85 pages en A4.

Présentation aérée. Grandes figures (mais parfois décalées pour des raisons de place).

Courte (donc utilisable) bibliographie avec 5 bons titres en français, bien commentée dans l’Introduction.

Table des matières détaillée. Index de 73 entrées.

N°ISSN : 0297-4347. Prix : 10 € + port.

• « Cette partie des mathématiques s’est [historiquement] développée avec, en particulier, les problèmes posés par l’astronomie, la perspective en dessin, l’optique. Actuellement les espaces projectifs offrent le cadre naturel de travail pour divers domaines en plein essor. On peut citer, par exemple, la géométrie algébrique » ainsi que « de plus, […] le graphisme sur ordinateur et le domaine des codes correcteurs (avec géométrie projective sur des corps finis »).

L’Introduction précise ensuite que l’ouvrage « essaie de présenter les objets et les méthodes de la géométrie projective, en éclairant des résultats souvent anciens grâce à des outils mathématiques plus récents comme l’algèbre linéaire, les formes quadratiques, les groupes ».

Trois chapitres pour cette géométrie projective.
1. Les bases (18 pages).
2. Le fonctionnement (29 pages).
3. Les coniques (28 pages).

Chemin faisant s’introduisent les notions et les correspondances affine-projectif. Une place centrale est vite tenue par les homographies (structure de groupe, expression analytique, point invariants, perspective, construction des images, involutions, …) et, bien sûr, par le birapport de quatre points alignés…

La dualité est clairement introduite (avec algèbre linéaire) en se plaçant dans le cas d’un plan projectif.

Surgissent alors, naturellement, les théorèmes fondamentaux (Desargues, Pappus, leurs duaux, …), puis « les trois extensions indispensables à faire à la théorie vectorielle ou affine classique de la géométrie réelle » dès que l’on passe aux « courbes algébriques » :
ajout de points à l’infini (ce qui est fait dès la constitution de la structure projective), puis :
points complexes d’une courbe définie sur $\mathbb{R}$.
multiplicité des intersections (cf. cas des tangentes).

R. Rolland revisite alors la dualité (pôles et polaires, …).

« La structure projective d’une conique » s’accompagne des théorèmes de Steiner (direct et réciproque), …, de Pascal et Brianchon, …, puis du théorème de Frégier, problème de Castillon, … avec des généralisations éventuelles et pas mal de constructions.

L’ensemble est solide, à la fois concis, clair, attrayant. L’auteur ne dédaigne pas des remarques qui, pour être élémentaires, n’en sont pas moins intéressantes. Ainsi quand il note que, comme pour toute conique, le cercle est déterminé par cinq conditions, dont deux automatiquement remplies (il passe par les points cycliques) si bien qu’il suffit de trois autres (avec points ou tangentes notamment)… Ainsi encore pour les diagonales d’un quadrilatère complet avec démonstration par l’usage de rejet de points à l’infini, …

Voilà donc un très bon « Précis » de géométrie projective…

(Article mis en ligne par Catherine Ranson)
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