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  APMEP   Gammes musicales et Arithmétique

Article du bulletin 464

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- 16 mars 2016 -

Odile Sauzet

Résumé de l’article

L’article se propose de répondre à la question : Pourquoi les gammes musicales existent-elles ? Pourquoi les notes ne sont-elles pas "espacées" régulièrement ? Après avoir rappelé que le son est un phénomène périodique lié à la mise en vibration d’un objet, que la hauteur du son est liée à sa fréquence, sont définis les notions d’intervalle, d’harmonique et d’octave, puis la gamme tempérée, découpée en 12 demi-tons, et enfin la quinte tempérée, qui, répétée, donne les 7 notes de la gamme. Les notes successives sont calculées par congruence modulo 12 des multiples successifs de 7. Avec les tierces majeures, on n’obtient que 3 notes, mais on obtient bien les 7 notes en montant de quarte en quarte. Explication par les propriétés des congruences. En annexe une activité propose des calculs modulo "DO".

Introduction

Musique et arithmétique font bon ménage : on les rencontre fréquemment lorsque l’on parle de gamme pythagoricienne et de fractions (voir [P1]). L’aspect que l’on se propose d’observer ici est tout autre. On utilise le calcul modulaire pour résoudre un problème qui ne semble pas très mathématique : pourquoi les gammes musicales existent-elles ? Autrement dit : pourquoi les notes ne sont-elles pas espacées régulièrement dans une gamme musicale ?

Les élèves ayant des connaissances musicales variées (de très avancées à inexistantes), on doit leur donner toutes les explications nécessaires. Mais il ne s’agit pas ici de concepts très compliqués. On n’utilisera ici que des notions musicales élémentaires qui sont des approximations de la réalité physique (voir [P2]) mais qui ont une traduction claire sur le clavier d’un piano par exemple.

Dans la première partie, nous donnerons les informations permettant de comprendre la nature du problème posé. Nous donnerons une modélisation numérique (entière) puis nous montrerons qu’un modèle modulaire pourrait nous permettre de résoudre le problème posé. Dans la troisième partie, on fera des calculs et on observera un phénomène musicalement intéressant. Et enfin dans la quatrième partie, on montrera, en faisant de l’arithmétique, pourquoi ce que l’on a observé fonctionne et on cherchera les généralisations possibles. En appendice on trouvera une fiche à distribuer aux élèves. L’auteur tient à remercier Bernard Parzysz pour ses suggestions très pertinentes.

Plan de l’article

  • Introduction
  • 1. Préliminaires.
  • 2. Modélisation mathématique des gammes montantes successives.
  • 3. Les quintes et l’échelle tempérée
  • 4. Pour aller plus loin.
  • Références.
  • Spécialité TS – Activité : Calculer modulo « DO »
    • 1. Préliminaires.
    • 2. Les quintes et l’échelle tempérée
    • 3. Pour aller plus loin.

Télécharger l’article en pdf dans son intégralité

(Article mis en ligne par Armelle BOURGAIN)
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