Mathématicien picard, Lebesgue ?

Dans n’importe quel dictionnaire, on lit que Henri Lebesgue, mathématicien, est né en 1875 à Beauvais. Pourtant, dans la ville, aucun collège, aucun lycée, ne porte son nom. Il faut s’éloigner du centre pour trouver une rue Henri Lebesgue.

C’est peu de reconnaissance pour un homme qui y a passé son enfance et son adolescence et y est retourné tout au long de sa vie, pour séjourner chez sa mère et sa sœur qui y était institutrice. Le grand mathématicien qu’il est devenu est bien resté fidèle à la ville de Beauvais !

Lebesgue est donc né à Beauvais en 1875. Son père, ouvrier typographe, décède de la tuberculose alors que le jeune Henri a 3 ans. Sa mère parvient avec peine à faire vivre sa famille par des travaux de couture à domicile.

Lebesgue représente alors un bon exemple de réussite de l’école républicaine : il est repéré comme excellent élève à l’école primaire, obtient (grâce à l’appui du Docteur Gérard, maire de Beauvais) des bourses qui lui permettent de poursuivre ses études au Collège de Beauvais, puis au Lycée Louis Le Grand, à Paris, et enfin à l’École Normale Supérieure.

Il réussit l’Agrégation en 1897, et est nommé au lycée de Nancy où il prépare sa thèse. Il la soutient en 1902 et y expose la théorie d’une nouvelle intégrale, connue sous le nom de l’intégrale de Lebesgue.

Une nouvelle intégrale

L’intégrale de Riemann, tout en étant rigoureusement définie et suffisante pour de nombreuses questions, présente des inconvénients majeurs : l’intégration terme à terme des séries n’est pas toujours possible, et certaines fonctions à dérivées bornées ne sont pas intégrables …

Lebesgue va définir une intégrale plus générale.

Dans l’intégrale de Riemann d’une fonction \(f\) sur un intervalle \([a,b]\), on subdivise l’intervalle \([a,b]\) en \(n\) intervalles et on considère des rectangles de « hauteurs » \(f(x)\).

En s’appuyant sur la théorie de la mesure de Borel, et en la développant, Lebesgue propose une nouvelle vision. Il part des valeurs de \(f\) ( ordonnées) et « redescend » sur l’axe des abscisses en utilisant des mesures de sous ensembles de \([a ;b]\).

Lebesgue expliquait ainsi son intégrale : « Je dois payer une certaine somme ; je fouille dans mes poches et j’en sors des pièces et des billets de différentes valeurs. Je les verse à mon créancier dans l’ordre où elles se présentent jusqu’à atteindre le total de ma dette. C’est l’intégrale de Riemann. Mais je peux opérer autrement. Ayant sorti tout mon argent, je réunis les billets de même valeur, les pièces semblables et j’effectue le paiement en donnant ensemble les signes monétaires de même valeur. C’est mon intégrale. » (Biographie de Lebesgue par Denjoy, Félix et Montel)

Cette nouvelle théorie s’applique avec succès aux séries trigonométriques, éclaire bien des difficultés apparues dans différents domaines, et ouvre la voie à bien d’autres développements en analyse fonctionnelle.

L’homme, sa carrière, ses recherches

Lebesgue est nommé maître de conférence à Rennes. Il poursuit ses recherches, en particulier, il énonce le théorème fondamental sur le passage à la limite dans l’intégrale dans l’ouvrage : « Leçons sur l’intégration et la recherche de fonctions primitives » publié en 1904.

Il est nommé professeur à Poitiers en 1906.

Sa correspondance avec Borel montre combien ces années furent à la fois prolifiques sur le plan de la recherche et difficiles sur le plan matériel. Toute sa famille était très pauvre : sa mère, sa belle-famille. Il devra soutenir financièrement ses proches : « Je suis susceptible sur certaines choses, sur toutes celles qui concernent la question argent. J’ai toujours eu peu d’argent et je me suis contenté de ce peu. Cela n’empêche que, à plusieurs reprises, ma situation financière a influé sur ma manière d’agir. Chaque fois cela m’a été très pénible … » (lettre à Borel, 1903)

En partie à cause de cela, il est très sensible à tout ce qui touche à sa carrière : il faut dire qu’à l’époque (autant que maintenant ?) les difficultés de carrière étaient nombreuses ! En particulier, il semblait difficile d’obtenir une nomination à Paris.

« Il se peut que ce que vous appelez ma mauvaise humeur et que j’appelle ma tristesse me fasse sentir plus vivement les aspérités des choses … Mais je trouve que, dans toute l’Université, les choses se règlent subrepticement … Aussi, je suis persuadé que je dois faire ma carrière en province … vous m’avez appris jadis qu’il était bon de se faire pistonner pour avoir une promotion, c’est pourquoi j’ai dit et je dis : qu’un papier de plus dans mon dossier ne contrebalancera pas le moindre piston personnel de mes concurrents. » (lettre à Borel, 1909)

Le ton est souvent amer, Lebesgue semble blessé par la vie, sûrement un peu jaloux de ses collègues de milieux intellectuels bourgeois. Il se trouve souvent obligé de défendre la préséance de ses découvertes avec mauvaise humeur et ironie : « … je m’étonne que chacun dans ma thèse ne voit que la partie qui l’intéresse. Pour Jordan j’ai défini l’aire d’une surface. Pour Picard j’ai fait des surfaces applicables et des surfaces de Plateau. Pour vous j’ai appliqué intelligemment la notion de mesure. Je serais heureux qu’il existe quelqu’un pour qui j’ai fait à la fois ces 3 choses … » (lettre à Borel ,1903).

D’ailleurs, il finira en 1917 par se fâcher avec Borel, à propos de la paternité de la notion de mesure et la passionnante correspondance entre les deux hommes prendra fin.

Lebesgue pédagogue et « humain »

En 1910, il est enfin nommé à Paris, à la Sorbonne ; en 1921, au Collège de France ; en 1922 il est membre de l’Académie des Sciences. On reconnaît ses talents de mathématicien, de pédagogue (qui continuent à s’exprimer dans ses publications).

Il meurt en 1941. Dans sa notice nécrologique Montel écrit :

Humain, profondément humain, il avait une grande noblesse de cœur et de pensée, une sensibilité délicate, une générosité discrète et inépuisable. L’injustice le mettait hors de lui.

Voilà une belle conclusion.

Sources

• Lebesgue : Les lendemains de l’intégrale, lettres à Émile Borel (éditées par Dru et Dugac)
• Dahan-Dalmedico et Peiffer : Routes et Dédales (Histoire des Mathématiques)
• Bourbaki : Éléments d’histoire des mathématiques
• Un site web : Henri Léon Lebesgue