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%Tapuscrit Mickael Védrine
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat L mathématiques--informatique}
\lfoot{\small{Amérique du Sud -- novembre 2001 }}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{Baccalauréat général  Amérique du Sud }}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - novembre 2001}}

L'usage de la calculatrice  est autorisé.

\textbf{Le candidat doit traiter les  DEUX exercices}

\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Le gardien de phare}

\medskip

Le gardien de phare, entouré d'eau, situé en $A$, souhaite rejoindre la maison côtière située en $B$.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6,0.7)
\psset{dotscale=0.1,unit=0.7}
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
\pstGeonode[PosAngle=135](0,0){C}
\pstGeonode[dotscale=1,PosAngle=45,PointSymbol=*](5,0){B}
\pstGeonode[dotscale=1,PosAngle=-45,PointSymbol=*](0,-3){A}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](5,0.2){B'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](-0.2,-3){A'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](-0.2,0){C'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](0,0.2){C_1}
%\pstLineAB{<->}{A}{C}\lput*{:D}{$9$ km}
%\pstLineAB{<->}{C}{B}\aput*{:U}{$15$ km}
\pstRightAngle{A}{C}{B}
\psline{<->}(0,0.2)(5,0.2) \uput[u](2.5,0.2){15 km}
\psline{<->}(-0.2,-3)(-0.2,0) \rput{90}(-0.4,-1.5){9 km}
\pstLineAB[nodesepA=-1.2,nodesepB=-1]{C}{B}
\pstLineAB{A}{C}
\put(3,-2.5){Mer}
\put(1.6,1.2){Terre}

\end{pspicture}
\end{center}
Il a à sa disposition deux moyens de locomotion :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item un canot avec lequel il peut se déplacer à 4~kilomètres par heure ;

\item ses jambes avec lesquelles il peut se déplacer à 5~kilomètres par heure .
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Le but de l'exercice est détudier le temps de parcours en fonction de l'itinéraire choisi.

\begin{enumerate}
\item Le gardien décide de parcourir la distance $AC$ en canot puis la distance $CB$ à pied. Calculer le temps, en heures et minutes, de parcours de cet itinéraire.

\item Le gardien décide de parcourir la distance $AB$ en canot.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la distance $AB$ en kilomètres.
		\item En déduire le temps de cet itinéraire en heures et minutes, arrondi à une minute.
	\end{enumerate}

\item Le gardien décide de parcourir la distance $AM$ en canot puis la distance $MB$ à pied, où $M$ est le point du segment $[CB]$ situé à $x$ kilomètres du point $C$.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-2.5)(6,.7)
\psset{dotscale=0.1,unit=0.7}
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
\pstGeonode[PosAngle=135](0,0){C}
\pstGeonode[dotscale=1,PosAngle=45,PointSymbol=*](5,0){B}
\pstGeonode[dotscale=1,PosAngle=-45,PointSymbol=*](0,-3){A}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](5,0.2){B'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](-0.2,-3){A'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](-0.2,0){C'}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](0,0.2){C_1}
\pstGeonode[dotscale=1,PosAngle=45,PointSymbol=*](2,0){M}
%\pstGeonode[PointSymbol=none](2,0.2){M'}
%\pstLineAB{<->}{A'}{C'}\aput*{:U}{$9$ km}
%\pstLineAB{<->}{C_{1}}{M'}\aput*{:U}{$x$ km}
\pstRightAngle{A}{C}{B}
\pstLineAB{C}{B}
\pstLineAB{A}{C}
\psline{<->}(0,0.2)(2,0.2) \uput[u](1,0.2){$x$ km}
\psline{<->}(-0.2,-3)(-0.2,0) \rput{90}(-0.4,-1.5){9 km}
\end{pspicture}
\end{center}

En associant, au nombre de kilomètres $x$, le temps de parcours en heures, on obtient une fonction définie sur l'intervalle $[0\,;\,15]$ et représentée par la courbe jointe en \textit{annexe}.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier graphiquement votre résultat de la question 1 en expliquant votre démarche.

		\item Le gardien choisit l'itinéraire lui permettant d'aller le plus vite possible de $A$ à $B$.

Répondre par lecture graphique aux deux questions suivantes.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]	 À combien de kilomètres du point $C$ accoste-t-il ?
\item[$\bullet~$] Quel est son temps de parcours en heures et minutes ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Répondre, en utilisant un calcul, aux deux questions suivantes.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Quelles distances parcourt-il en canot et à pied ?
\item[$\bullet~$] Combien de temps passe-t-il dans son canot et combien de temps marche-t-il ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Étude de deux contrat d'embauche}

\medskip

\textbf{Contrat A.} Le salaire est de \nombre{5000} francs au 1\up{er} janvier 2000 et augmente de 450~Francs au premier janvier de chaque année.

\textbf{Contrat B.} Le salaire est de \nombre{5000} francs au 1\up{er} janvier 2000 et augmente de $8\:\%$ au premier janvier de chaque année.

\medskip

\emph{Notations}

$n$ désigne le nombre d'années écoulées depuis le 1$^{\text{er}}$ janvier 2000.

Le salaire mensuel pour le contrat A est noté $u_0$ en 2000, $u_1$ en 2001, $u_2$ en 2002, \ldots, $u_n$ en l'année $(2000 + n)$.

Soit $v_n$ le salaire mensuel pour le contrat B en $2000 + n$.

Soit $s_n$ la somme des salaires totaux pour le contrat A de l'année 2000 jusqu'à la fin de l'année $(2000 + n)$.

Soit $t_n$ la somme des salaires totaux pour le contrat B de l'année 2000 jusqu'à la fin de l'année $(2000 + n)$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A - Étude du contrat A }

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire mensuel en 2001.
\item Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser le premier terme et la raison.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. En déduire le salaire mensuel en 2009.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B - Étude du contrat B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le salaire mensuel en 2001.
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? Préciser le premier terme et la raison.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire le salaire mensuel en 2009.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\newpage

\textbf{Partie C - Comparaison des deux contrats}

\medskip

On souhaite réaliser le tableau ci-dessous à l'aide d'un tableur.

\begin{center}
\textbf{Tableau avec valeurs numériques}
\vspace{0,4cm}

\definecolor{gristab}{gray}{0.80}

\begin{tabular}{|>{\columncolor{gristab}}c|c|c|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{gristab}&\makebox[12mm]{A}&\makebox[15mm]{B}&\makebox[15mm]{C}&\makebox[12mm]&{D}\makebox[12mm]{E}\\
\hline
1&$n$&$u_n$&$v_n$&$s_n$&$t_n$\\
\hline
2&$0$&&&$60\,000,00$\\
\hline
3&$1$&&&$124\,800,00$\\
\hline
4&$2$&$5\,900$&$5\,832,00$&$196\,200$&$194\,784,00$\\
\hline
5&$3$&$6\,350$&$6\,298,56$&$272\,400$&$270\,366,72$\\
\hline
6&$4$&$7\,250$&$6\,802,44$&$354\,000$&$351\,996,00$\\
\hline
7&$5$&$7\,250$&$7\,346,64$&$441\,000$&$440\,155,68$\\
\hline
8&$6$&$7\,700$&$7\,934,37$&$533\,400$&$535\,368,12$\\
\hline
9&$7$&$8\,150$&$8\,569,12$&$631\,200$&$638\,197,56$\\
\hline
10&$8$&$8\,600$&$9\,254,65$&$734\,400$&$749\,253,36$\\
\hline

\end{tabular}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle valeur inscrit-on dans chacune des cellules (2, B), (2, C) et (2, D) ?

\item Quelle formule inscrit-on dans chacune des cellules (3, B), (3, C) et (3, D) ?

\item À partir de quelle année le salaire mensuel du contrat B est-il supérieur au salaire mensuel du contrat A ?

\item À partir de quelle année le contrat B rapporte-t-il davantage que le contrat A ?

\end{enumerate}
\vspace{0,2cm}
\begin{center}
\textit{Annexe exercice 1}

\begin{pspicture}(0,-1)(10,9)
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.4cm}
\psgrid[gridwidth=.8pt,griddots=10,subgriddots=5,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(0,0)(15,20)
\psset{,gridlabels=0,labels=none}
\psaxes{-}(0,0)(0,0)(15,20)
\psset{linewidth=.7\pslinewidth}%il manque ,,labelsep=2.5showorigin=false,

\def\F{x 2 exp 81 add sqrt 5 mul 60 add -4 x mul add -85 add}
\psplot{0}{15}{\F}
\uput[l](0,0){$4,25$}
\uput[l](0,1){$4,30$}
\uput[l](0,14){$5,00$}
\uput[l](0,20){$5,25$}
\uput[d](0,0){$0$}
\uput[d](5,0){$5$}
\uput[d](10,0){$10$}
\uput[d](15,0){$15$}

\end{pspicture}

\textit{Courbe représentative de la fonction}

\emph{définie à la question 3}
\end{center}
\end{document}