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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2003}} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat général  Amérique du Nord~ \decofourright}}
    
{\large \textbf{Épreuve anticipée Mathématiques}}

{\large \textbf{Mathématiques-informatique - série L - juin  2003}}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  12 points}

\medskip

\textbf{ Partie A : La pratique du Roller}\footnote{Source
 \begin{itemize}
\item  article \og pratique du roller et port du casque \fg{}, Bourdessol H., 
	C.F.E.S, Gautier A., C.F.E.S Guilbert P. C.F.E.S., Arwidson P., C.F.E.S.,
 Baudier F. C.NA.M.T.S.\\
\item  article \og épidémiologique des accidents de roller en France (199? à 1999) \fg{}, 
Thélot B. 	Institut de Veille Sanitaire, Nectoux M. Université Paris V,
Isnard H., In. V.S. et le réseau français de surveillance des accidents de la vie courante.
\end{itemize}}

\textbf{Consigne :  tous les calculs seront expliqués et détaillés. Les 
résultats seront arrondis en tenant compte du contexte.}

Une enquête, sur la pratique du roller, a été réalisée dans le but de mettre en place des actions de prévention des accidents.

Un échantillon de \np{13685} personnes âgées de 12 à 75 ans a été soumis à l'enquête.

Les personnes interrogées devaient répondre à la question : \og Au cours des 12 derniers mois, avez-vous fait du roller ? \fg{}. Si oui, la question suivante était : \og La dernière fois, avez-vous porté un casque ? \fg{}. La réponse \og oui \fg{} à la première question classe la personne dans la catégorie \og pratiquant du roller \fg{}.

\begin{enumerate}
\item Sexe

\np{1192} des personnes interrogées ont déclaré avoir fait du roller au cours des 12 derniers mois précédant l'enquête, dont 657 femmes.

Exprimer en pourcentage la proportion de \og pratiquants du roller \fg{} parmi les personnes interrogées ainsi que la répartition hommes-femmes parmi ces \og pratiquants \fg{}.

\item Âge

$43,3\,\%$ parmi les 12-14 ans ont pratiqué le roller au cours des 12 derniers mois.

On sait aussi que les 12-14 ans ayant pratiqué le roller au cours des 12 derniers mois sont au nombre de 357.

Combien y a-t-il de \og 12--14 \fg{} ans parmi les personnes interrogées ?

\item Port du casque

D'après l'enquête, il semble que le port du casque soit plus répandu chez les 
hommes que chez les femmes. En effet, $14,4\,\%$ parmi les 535 hommes qui ont fait
 du roller au cours des 12 derniers mois contre $8,8\,\%$ parmi les 657 femmes, 
déclarent avoir porté un casque lors de leur dernière sortie.

Quel est le pourcentage, parmi les personnes qui ont fit du roller au cours 
des 12 derniers mois, de celles qui déclarent avoir porté un casque lors de 
leur dernière sortie ?

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B : Les accidents de roller}

\medskip

Les tableaux suivants proviennent du recueil de données effectué pendant trois
 ans dans sept hôpitaux français. Il s'agit du nombre d'admissions consécutives
 à des accidents de roller.

 \begin{center} Tableau 1 (effectifs) : \np{2075} accidents de roller 

{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins& 10 à 14 ans&15 à 19 ans&20 à 34 
ans & 35 ans et plus&	total\\ \hline
hommes&	160&	694&	229&	174&	73& 	1\:330\\ \hline
femmes&	183&	312&	47&	127&	76& 	745\\ \hline
total&	343&	1\:006&	276&	301&	149& 	2\:075\\ \hline
\end{tabularx}}
\end{center}

À partir de ces effectifs, on a établi différents tableaux de fréquences. Il s'agit des mêmes données mais elles sont traitées différemment.
 
\vspace{0,5cm}

\begin{center}
\textbf{Tableau 2}

\medskip
{\footnotesize \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins& 10 à 14 ans&15 à 19 ans&20 à 34& 35 
ans et plus& total \\ \hline
hommes&	12,03\:\%&	52,18\:\%&	17,22\:\%& 	13,08\:\%&	5,49\:\% &	100,00\:\%\\ \hline
femmes&	24,56\:\%&	41,88\:\%&	6,31\:\%& 	17,05\:\%&	10,20\:\%& 	100,00\:\%\\ \hline
ensemble&	16,53\:\%&	48,48\:\%&	13,30\:\%&	14,51\:\%&	7,18\:\%& 	100,00\:\%\\ \hline
\end{tabular}}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Tableau 3}

\medskip

{\footnotesize \begin{tabular}{|l|*{6}{c|}}\hline
\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins& 10 à 14 ans&15 à 19 ans&20 à 34& 35 
ans et plus& total \\ \hline
hommes&	46,65\:\%&	68,99\:\%&	82,97\:\%&	57,81\:\%&	48,99\:\%& 	64,10\:\%\\ \hline
femmes&	53,35\:\%&	31,01\:\%&	17,03\:\%&	42,19\:\%&	51,01\:\%& 	35,90\:\%\\ \hline
total&	100,00\:\%&	100,00\:\%&	100,00\:\%&	100,00\:\%&	100,00\:\%& 100,00\:\%\\ \hline
\end{tabular}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
\item Pour chacune des questions suivantes, préciser le tableau utilisé et 
donner la réponse directement lisible dans ce tableau.

	\begin{enumerate}
		\item Quel est le pourcentage d'accidents de roller qui concernent des jeunes de 9 ans et moins ?
		\item Quel est le pourcentage d'hommes parmi les accidentés de roller de 35 ans et plus ?
		\item Quelle est la proportion de \og 10 à 14 ans \fg{} parmi l'ensemble des femmes qui ont eu un accident de roller ?
		\item Parmi les accidents de roller, quelle est la proportion de ceux qui ont concerné des hommes ? 
	\end{enumerate}
 
\item Les tableaux précédents ont été réalisés à l'aide d'un tableur. Les 
nombres qui apparaissent en italique sont les données. Les tableaux 2 et 3 sont 
obtenus à partir du tableau 1.

Compléter les cellules B9 et B14 de l'annexe 1 (à rendre avec la copie 
avec les formules demandées ci-après.)

Pour établir ces formules, on tiendra compte des remarques suivantes :

$\bullet~$ Les cellules des tableaux 2 et 3 sont au format \og pourcentage, à 
deux décimales \fg{}.

$\bullet~$	On veut pouvoir réutiliser la même feuille de calcul pour la période suivante (2000-2002). Ainsi, les formules doivent permettre une actualisation 
automatique des résultats quand on changera les données du tableau 1.

$\bullet~$	On écrit C3, par exemple, pour désigner l'adresse de la cellule située à l'intersection de la colonne C et de la ligne 3.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule a-t-elle été mise en cellule G3 ?
		\item Quelle formule a-t-elle été mise en cellule B9 ? Elle doit être 
recopiable dans le reste du tableau 2.
		\item Quelle formule a-t-elle été mise en cellule B15 ? Elle doit être 
recopiable dans le reste du tableau 3.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center} {EXERCICE 1}

ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE D'EXAMEN

\vspace{0,5cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*7{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
1 & A & B & C & D  & E & F & G \\ \hline
2&tableau 1&&&&&&\\ \hline
3&\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins&de 10 à 14 ans&de 15 à 19 ans&de 20 
ans à 34 ans&	35 ans et plus&	Total\\ \hline
4&Hommes&	160&	694&	229&	174&	73&	1\:330\\ \hline
5&Femmes&	183&	312&	47&	127&	76&	745\\ \hline
6&Total&	343&	1\:006&	276&	301&	149&	2\:075\\ \hline
7&tableau 2 &&&&&&\\ \hline
8&\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins&de 10 à 14 ans&de 15 à 19 ans&de 20 
ans à 34 ans&	35 ans et plus&	Total\\ \hline
9&Hommes & & & & & &\\ \hline 
10& Femmes & & & & & &\\ \hline 
11& Total & & & & & & \\ \hline
12&tableau 3 & & & & & & \\ \hline
13&\backslashbox{sexe}{âge}&9 ans et moins&de 10 à 14 ans&de 15 à 19 ans&de 20 
ans à 34 ans&	35 ans et plus&	Total\\ \hline
14&Hommes & & & & & &\\ \hline 
15& Femmes & & & & & &\\ \hline 
16& Total & & & & & & \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\end{landscape}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center} LA CROISSANCE DE LA POPULATION TERRESTRE\footnote{Source :
\og \textit{L'invention des concepts en démographie} \fg{} H. Le Bras. Dossier Hors Série \og 
\textit{Les mathématiques sociales} \fg{}, revue \og \textit{Pour la science} \fg{}, juillet 
1999} \end{center}

{\footnotesize \og Avant d'inventer le concept de taux de croissance, il a fallu se familiariser avec la série géométrique \ldots \fg{}}.

Le premier calcul de croissance démographique connu est dû à W. Petty et date de 1680. Petty calcule ici la croissance de la population depuis la sortie de  l'Arche de Noé. Il raisonne non pas à l'aide de taux de croissance, mais à partir des périodes de doublement de la population. Voici un tableau et une représentation graphique établis d'après ses résultats.

\begin{center} \begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
nombre d'années écoulées&	population& 	période de doublement\\
depuis la sortie de l'arche de Noé& (nombre de personnes)& de la population en années\\ \hline
0	& 8 			& \\ \hline
10	&16			&	10\\ \hline
20	&32			&	10\\ \hline
30	&64			&	10\\ \hline
40	&128		&	10\\ \hline
50	&256		&	10\\ \hline
60	&512		&	10\\ \hline
70	&\np{1024}		&	10\\ \hline
80	&\np{2048}		&	10\\ \hline
90	&\np{4096}		&	10\\ \hline
100	&\np{8192}		&	10\\ \hline
120	&\np{16384}		&	20\\ \hline
140	&\np{32768}		&	20\\ \hline
170	&\np{65536}		&	30\\ \hline
200	&\np{131072}		&	30\\ \hline
240	&\np{262144}		&	40\\ \hline
290	&\np{524288}		&	50\\ \hline
350	&\np{1048576}	& 60\\ \hline
420	&\np{2097152}	&	70\\ \hline
520	&\np{4194304}	&	100\\ \hline
710	&\np{8388608}	&	190\\ \hline
1000&\np{16777216}	&	290\\ \hline
1400&\np{33554432}	&	400\\ \hline
1950&\np{67108864}	&	550\\ \hline
2700 Début de l'ère chrétienne&	\np{134217728}&	750\\ \hline
3700&\np{268435456}&	\np{1000}\\ \hline
4900&\np{536870912}&	\np{1200}\\ \hline
\end{tabular}

\vspace{0,75cm}

\psset{xunit=0.0018cm,yunit=0.000011cm}
\begin{pspicture}(5000,500000)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(5000,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,500000)
\pscurve(0,0)(100,8.192)(520,4194)(1000,16777)(1400,33554)
(1950,67108)(2700,134217)(3700,268435)(4900,536870)
\rput(2000,525000){évolution de la population}
\multido{\n=0+500}{11}{\uput[d](\n,0){\n}}
\uput[l](0,100000){\np{100000000}}
\uput[l](0,200000){\np{200000000}}
\uput[l](0,300000){\np{300000000}}
\uput[l](0,400000){\np{400000000}}
\uput[l](0,500000){\np{500000000}}
\rput{90}(-1200,200000){nombre de personnes}
\rput(2500,-50000){nombre d'années écoulées}
\multido{\n=0+100000}{6}{\psline(0,\n)(5000,\n)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\begin{enumerate}
 \item Pour chacune des périodes suivantes, préciser si la croissance est ou non exponentielle et justifier. Dans le cas d'une croissance exponentielle, décrire cette croissance en utilisant un taux de croissance. 
	\begin{enumerate} 
		\item De 0 à 100 années après la sortie de l'arche.
		\item De 420 à \np{3700} années après la sortie de l'arche. 
		\item De 0 à 140 années après la sortie de l'arche.		
	\end{enumerate}	
\item L'auteur propose des valeurs intermédiaires sur la période 3700 - 4900. Pour obtenir ces valeurs intermédiaires, il a fait une interpolation linéaire.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre d'années écoulées		&	population\\
depuis la sortie de l'arche  de Noé	&	(nombre de personnes)\\
\hline
\np{3700} &	\np{268435456}\\ \hline
\np{4000}	&	\np{335544320}\\ \hline
\np{4300} 	&	\np{402653184}\\ \hline
\np{4600}	& 					\\ \hline
\np{4900}	&	\np{536870912}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Vérifier que les valeurs proposées pour la population en \np{3700}, \np{4000} et \np{4300} correspondent bien à une croissance linéaire. Préciser les calculs nécessaires.
		\item Avec la même hypothèse de croissance linéaire sur cette période,  calculer la valeur manquante (population en \np{4600}). Détailler le calcul.
	\end{enumerate}
\item Quel est le taux d'évolution de la population sur la période 3700 - 4900 ? Justifier.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
nombre d'années écoulées&Population (nombre de personnes)\\ 
depuis la sortie de l'arche de Noé& *valeurs arrondies au nombre entier le plus proche\\ \hline
\np{3700}&	\np{268435456}\\ \hline
\np{4000}&	\np{319225354}*\\ \hline
\np{4300}&	\\ \hline
\np{4600}&	\np{451452825}*\\ \hline
\np{4900}&	\np{536870912}\\ \hline
\end{tabularx}

\item Si Petty avait raisonné en termes de croissance exponentielle  sur la période 3700--4900, il aurait pu calculer le taux d'évolution sur la période 3700--4300 à partir du taux d'évolution sur la période 3700--4900, en calculant un \og taux
moyen d'évolution \fg{}.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le taux d'évolution sur la demi-période (entre 3700 et 4300 ou entre 4300 et 4900). Justifier. Donner le résultat sous deux formes : la valeur exacte puis un arrondi, sous forme de pourcentage, avec deux chiffres après la virgule.
		\item En déduire la population en 4300. Détailler le calcul. Arrondir le résultat comme les autres valeurs du tableau.
	\end{enumerate}
\item Associer, à chaque type de croissance, la courbe correspondante du graphique ci-dessous.
\end{enumerate}

\begin{center}\psset{xunit=0.007cm,yunit=0.0000183cm}
\begin{pspicture}(3450,256000)(5000,556000)\hline
\uput[l](3700,256000){\np{256000000}}
\uput[l](3700,306000){\np{306000000}}
\uput[l](3700,356000){\np{356000000}}
\uput[l](3700,406000){\np{406000000}}
\uput[l](3700,456000){\np{456000000}}
\uput[l](3700,506000){\np{506000000}}
\uput[l](3700,556000){\np{556000000}}
\multido{\n=3700+200}{7}{\uput[d](\n,256000){\n}}
\multido{\n=256000+50000}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](3700,\n)(5000,\n)}
\multido{\n=3700+100}{14}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,256000)(\n,556000)}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3700,256000)(5000,256000)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3700,256000)(3700,556000)
\psline(3700,268435.456)(4900,536870.912)
\pscurve(3700,268435.456)(4000,319225.354)(4300,386000)(4600,451452.825)(4900,536870.912)
\rput{90}(3350,400000){population}
\rput(4300,210000){nombre d'années écoulées}
\rput(4200,396000){$\mathcal{D}$}
\rput(4600,436000){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
 