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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Mathématiques-informatique}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
    
\begin{center}    {\Large  \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Mathématiques-informatique~\decofourright\\
   Amérique du Nord juin 2004}}\end{center}

\vspace*{1cm}

\textbf{Exercice 1  \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\psset{unit=7mm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(16,9)
\psaxes[Dx=20,Dy=10,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-2)(16,9)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1](0,0)(-2,-2)(16,9)
\uput[ul](0,0){O} \uput[d](-1,0){Ouest} \uput[r](0.5,-1.5){Sud}
\uput[d](1,0){500} \uput[l](0,1){500} 
\uput[l](0,8){Nord} \uput[d](15,0){Est}
\uput[d](4,1){A} \uput[d](1,5){D} 
\uput[d](11,1){R} \uput[dr](14,6){S}
\qdisk(4,1){2pt} \qdisk(1,5){2pt}
\qdisk(11,1){2pt}  \qdisk(14,6){2pt}  
\pscurve(-0.5,4)(0,4.5)(1,5)(2,5.15)(3,5.1)(3.2,5.09)%cote2200
\rput(4,5){\np{2200}} 
\pscurve(4.9,5.2)(5,5.25)(5.15,6)(5,6.6)(4.8,7)(4.5,8)(4.6,8.7)%cote 2200
\pscurve(0.4,2.6)(1,3.2)(2,3.8)(3,4.1)(3.8,4.15)%cote 2400
\rput(4.6,4){\np{2400}} \rput(8.7,7.1){\np{2600}} \rput(10,6.5){\np{2800}} 
\rput(11.5,8.2){\np{3000}} \rput(12.2,7.7){\np{3200}} \rput(13.2,7.1){\np{3400}} 
\rput(14,6.6){\np{3600}} \rput(15,6){\np{3800}} 
\pscurve(5.3,4.2)(6,4.6)(6.2,5)(6.25,6)(6,7)(5.5,8)(5.6,8.7)% cote 2400
\pscurve(1.6,1.3)(2,1.8)(3,2.4)(4,2.8)(5,3)(6,3.1)(7,3)(8,2.6)(9,2)(10,2.05)(10.5,3)
(10,3.6)(9.6,4)(9.1,5)(8.85,6)(8.6,6.8)% cote 2600
\pscurve(8.9,7.7)(9,8)(10,9)% cote 2600
\pscurve(2.05,1.05)(3,1.7)(4,2)(5,2.1)(6,2)(7,1.9)(8,1.6)(9,1.25)(10,1.04)(11,1)
(12,2)(12.2,2.5)(12,3.3)(11.5,4)(11,4.5)(10.5,5)(10,6) % cote 2800
\pscurve(9.75,6.9)(9.7,7.5)(10,8)(10.9,9) % cote 2800
\pscurve(2.3,0.8)(3,1.15)(4,1.4)(5,1.45)(6,1.3)(7,1.2)(8,1.05)(9,0.8)(10,0.4)(11,0.15)
(12,0.2)(13,1)(13.5,2)(13.6,2.5)(13.4,3)(13,3.6)(12.8,4)(12,5)(11.5,6)(11.4,7)(11.7,7.7)%cote 3000
\pscurve(12,8.5)(12.5,9)% 3000
\pscurve(2.6,0.4)(3,0.6)(4,1)(5,1)(6,0.8)(7,0.4)(8,0.15)(9,-0.3)(10,-0.4)(11,-0.6)
(12,-0.5)(13,-0.4)(14,0)(14.5,1)(14.6,2)(14.3,3)(13.4,4)(12.7,5)(12.1,6)(12,6.5)(12.1,7) %3200
\pscurve(12.6,8)(13,8.3)(14,8.7)(14.5,8.8)% 3200
\pscurve(15.5,3.2)(15,4)(14,4.7)(13.5,5)(13,6)(13.2,6.8) %3400
\pscurve(13.8,7.5)(14,7.6)(15,8)(15.2,8.05)% 3400
\pscurve(15.3,4.6)(14,5)(13.7,5.5)(13.9,6.2)% 3600
\pscurve(14.4,6.95)(15,7.2)(15.3,7.25)% 3600
\psline[linestyle=dotted](1,5)(4,1)
\pscurve[linestyle=dotted](4,1)(5,1.4)(6,1.8)(7,1.95)(8,2)(9,2)(10,1.3)(11,1)(11.3,2)(11.35,3)(11.5,4)
(12,4.85)(13,5.8)(14,6)(13,6.2)(12,6.15)(11,6.1)(10,6)(9,5.7)(8,5.1)(7,4.6)(6,4)(5,3.5)
(4.5,3.4)(4,3.5)(3,3.9)(2,4.6)(1,5)% DARSD à pied
\pscurve(14.6,5.8)(14.2,5.5)(14,5.8)(14,6)(14.3,6.2)% 3800
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}
La carte présente le trajet aller-retour que projette d'effectuer un 
groupe d'alpinistes. Le but de la randonnée est de gravir le sommet 
S. Le premier jour, ils se donnent rendez-vous au point D, départ d'un 
téléphérique qui les conduit au point A. Ils décident ensuite de 
gagner à pied le refuge R où ils passeront la nuit. Ils prévoient pour le lendemain
de faire l'ascension de R à S, puis le retour direct à pied de S à D.

On rapporte l'espace à un repère orthonormal d'origine O, dont l'axe Ouest-Est est celui des abscisses, l'axe Sud-Nord celui des ordonnées, l'axe des cotes (ou altitudes) n'étant pas
représenté. Les carrés du quadrillage ont, sur le terrain, 500 mètres de côté.
Des lignes de niveau, dont l'altitude est indiquée en mètres, permettent
d'imaginer le relief. Par exemple, le point S a pour coordonnées (\np{7000} ; 
\np{3000} ; \np{3800}).

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate} 
		\item Quelles sont les coordonnées des points D et A ?
		\item Calculer la différence d'altitude (appelée dénivelée) entre D et A.
		\item Le téléphérique met 10 minutes pour aller de D à A. Calculer sa
dénivelée moyenne par heure (en mètres par heure).
	\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\parbox[l]{0.5\textwidth}{\item On désire calculer la longueur du câble du téléphérique
(supposé tendu).\\
Pour cela, on pourra s'aider du parallélépipède rectangle représenté,
le point A$'$ étant situé à la verticale du point A, à la même altitude 
que D.\\
Utiliser deux fois de suite le théorème de Pythagore pour démontrer que la
longueur DA est, au mètre près, égale à \np{2693} mètres.} \hfill 
\parbox[r]{0.35\textwidth}{\begin{pspicture}(4,3)
\psline(0,1.5)(0,0.5)(2.1,0)(3.1,1)(3.1,2.1)(1,2.5)(0,1.5)(2.1,1)(3.1,2.1)%
\psline(2.1,0)(2.1,1)
\psline[linestyle=dotted](1,2.5)(1,1.5)(0,0.5)(2.1,1)
\psline[linestyle=dotted](0,0.5)(3.1,2.1)
\psline[linestyle=dotted](1,1.5)(3.1,1)
\uput[dl](0,0.5){D} \uput[d](2.1,0){C} 
\uput[r](3.1,1){A$'$} \uput[r](3.1,2.1){A}
\uput[d](0.7,0.3){\np{2000}} \uput[d](2.8,0.5){\np{1500}}
\uput[r](3,1.5){\np{1000}}
\end{pspicture}}

\vspace{0,5cm}

\item Les alpinistes quittent le téléphérique en A et se dirigent vers le refuge R.
Donner les coordonnées du point B le plus bas du trajet de A à R.

\item Le lendemain, pour des raisons de sécurité, les alpinistes doivent quitter le refuge très tôt de façon à arriver au sommet S au plus tard à 10 heures.
Ils prévoient d'accéder à S en s'élevant, en moyenne, d'une altitude de
200 mètres par heure. à quelle heure doivent-ils quitter le refuge R ?

\item Ayant atteint comme prévu le sommet à 10 heures, ils s'apprêtent à
redescendre en perdant en moyenne 300 mètres d'altitude par heure. à
quelle heure seront-ils au point D ? (Donner la réponse en heures et
minutes).

\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 12 points}

\medskip

Dans une ville existent deux salles de spectacles ayant programmé chacune 40 concerts durant la saison 2004/2005. La salle G est spécialisée dans la musique classique et la salle J dans le jazz.

\begin{enumerate} 
\item Pour la salle G, les résultats en nombre de spectateurs prévus sont indiqués par un histogramme. Par exemple, le gérant pense que 6 concerts vont attirer entre 500 et 700 spectateurs durant la saison 2004/2005.

\vspace{0,5cm}

\begin{center}\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(16,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(16,10)
\psline(0,1)(16,1)
\psframe[linewidth=1.5pt](1,7)(2,8) 
\psframe[linewidth=1.5pt](1,1)(5,2)
\psframe[linewidth=1.5pt](5,1)(7,4)
\psframe[linewidth=1.5pt](7,1)(8,5)
\psframe[linewidth=1.5pt](8,1)(9,7)
\psframe[linewidth=1.5pt](9,1)(10,8)
\psframe[linewidth=1.5pt](10,1)(11,6)
\psframe[linewidth=1.5pt](11,1)(13,4)
\psframe[linewidth=1.5pt](13,1)(15,2)
\uput[u](7,8){Salle G}
\uput[u](1.5,8){Un concert}
\uput[d](1,1){100} \uput[d](5,1){500} \uput[d](7,1){700} 
\uput[d](9,1){900} \uput[d](11,1){\np{1100}} \uput[d](13,1){\np{1300}} 
\uput[d](15,1){\np{1500}} 
\end{pspicture}\end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Calculer, en utilisant les milieux de classes, 
la moyenne $m_{\text{G}}$ de cette série statistique. 		
		\item On considère que les données de cette série sont gaussiennes (c'est-à-dire qu'elles suivent approximativement une loi normale). La plage de normalité à $95\,\%$ est [302~;~\np{1438}]. En utilisant cet intervalle, retrouver la moyenne $m_{\text{G}}$ et calculer l'écart type $\sigma_{\text{G}}$ de la série.
	\end{enumerate}
\item Les statistiques concernant la salle J sont données sur une feuille de calcul réalisée à l'aide d'un tableur. On rappelle que C3, par exemple, désigne l'adresse de la cellule située à l'intersection de la colonne C et de la ligne 3.

Les cellules A5 à A11 contiennent les classes de nombres de spectateurs,
toutes d'amplitude 200.

Les cellules B5 à B11 contiennent les milieux des classes. Les cellules C5 à
C11 contiennent les nombres de concerts correspondant aux classes de la
colonne A.

\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 	& A & B & C & D & E \\ \hline
1 	& 	& & & & \\ \hline
2 	& classes 			&milieux des&nombre de&spectateurs&spectateurs\\
3 	&					&classes&concerts&2004/2005&2005/2006\\ \hline
4 	& 					& 		& 	& & \\ \hline
5 	&[0 ; 200[ 			&100 	&4 	&	400& \\ \hline
6 	&[200 ; 400[		&300 	&8 	&   & \\ \hline
7 	&[400 ; 600[		&500 	&4 	&   & \\ \hline
8 	&[600 ; 800[		&700 	&2 	&   & \\ \hline
9 	&[800 ; \np{1000}[	&900 	&6 	& 	& \np{5400} \\ \hline
10 &[\np{1000} ; \np{1200}[&\np{1100}&10&  	&\np{11000}\\ \hline
11 &[\np{1200} ; \np{1400}[ &\np{1300}&6&  &\np{7800}\\ \hline
12 & 					& 		& 	& 		&\\ \hline 
13 &  					&somme	&40	&\np{30400}&\np{31020}\\ \hline
14 & 					& 		& 	& 		&\\ \hline 
15 &					& 		& moyenne 	& &775,5\\ \hline
16 & 					& 		& 	& 		&\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

	\begin{enumerate} 
		\item Le gérant veut obtenir, en utilisant le tableur, le nombre moyen de spectateurs par concert pour la saison 2004/2005. Dans la cellule D5 figure 400 qui représente le nombre de spectateurs susceptibles d'avoir assisté aux quatre concerts relatifs à la première classe.
		
Quelle formule le gérant a-t-il saisi dans D5, sachant qu'elle doit être 
recopiée jusqu'à D11, pour obtenir les nombres concernant les autres classes.
Inscrire les résultats des cellules D6 à D11 ? 
		\item Quelle formule le gérant a-t-il saisi dans D13 ? Quelle formule doit-il
saisir dans D15 pour avoir le nombre moyen de spectateurs par concert
dans la salle J ? Inscrire ce nombre dans la cellule D15.
	\end{enumerate}
\item Trouver, pour la série concernant la salle J, les classes respectives contenant la médiane et les quartiles du nombre de spectacles.
\item Pour relancer la fréquentation lors de la saison 2005/2006, le gérant
décide de proposer des abonnements pour plusieurs concerts dans l'année.
Il espère augmenter de $10\,\%$ le nombre de spectateurs de chaque concert
de moins de 800~spectateurs.
	\begin{enumerate} 
		\item Quelle formule faut-il saisir dans la cellule ES (recopiée jusqu'à E8) afin de trouver le nombre de spectateurs espéré en 2005/2006 pour ces 4 premières classes ? Inscrire les quatre résultats dans le tableau.
		\item Quelles formules faut-il saisir dans les cellules E13 et E15 afin d'obtenir le nombre de spectateurs espéré pour 2005/2006 et la moyenne par concert ?
		\item Calculer dans cette hypothèse la variation relative en pourcentage entre la moyenne attendue en 2004/2005 et celle espérée en 2005/2006. Le résultat sera arrondi à $0,1\,\%$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}